Der Erwerb des Rechnens im Grundschulalter geschieht nicht voraussetzungslos. Kinder verfügen zu Schulanfang über beträchtliches mathematisches Vorwissen, wobei erhebliche interindividuelle Unterschiede bestehen (Schipper, 1998; Schmidt, 2003). Empirische Studien belegen, dass dieses Vorwissen in hohem Ausmaß bestimmt, wie sich Rechenfertigkeiten im Verlauf der Grundschulzeit entwickeln (Krajewski, 2003; Kaufmann, 2003). Als Prädiktoren für Rechenfertigkeiten wurden mengenbezogenes und zahlbezogenes Measuring Preschool Mathematical Knowledge and Predicting Student’s Abilities and Deficiencies in Mathematics in Primary School Summary: This article investigates the influence of preschool mathematical knowledge on mathematical abilities and deficiencies in primary school. In a longitudinal study, 129 children were tested six months and two months before entering primary school with a diagnostic instrument for measuring the development of numerical concepts (DEZ). DEZ measures preschool mathematical knowledge in ten subdimensions. The dimensions are based on concepts derived from developmental psychology. CFT 1 was used to measure the children’s nonverbal intelligence. At the end of the first year of primary school, students’ mathematical abilities were measured using DEMAT 1 +. Structural equation modelling showed that mathematical knowledge from preschool serves as a very good predictor of student’s later performance in mathematics. Nonverbal intelligence does not enhance the amount of explained variance significantly. Individual prediction of mathematical deficiencies based on a classificatory approach was successful. The sensitivity of the diagnostic instrument (DEZ) proved to be particularly high. Early diagnostics and early mathematical education in preschool age are discussed. Keywords: Preschool mathematical knowledge, early diagnostics, mathematical ability, mathematical deficiencies, developmental dyscalculia Zusammenfassung: Der Beitrag untersucht den Einfluss mathematischen Vorwissens auf die Entwicklung von Rechenfertigkeiten und die Entstehung von Rechenschwierigkeiten. In einer Längsschnittstudie wurde das Diagnostikum zur Entwicklung des Zahlkonzepts (DEZ) 129 Kindern zu zwei Zeitpunkten (ein halbes Jahr und zwei Monate vor Schulbeginn) vorgelegt. DEZ integriert entwicklungspsychologische Konzepte und erfasst mathematisches Vorwissen in zehn Bereichen. Die nonverbale Intelligenz der Kinder wurde zum ersten Messzeitpunkt mit dem CFT 1 erhoben. Am Ende der ersten Klasse wurden die Rechenfertigkeiten der Kinder mit dem DEMAT 1 + erfasst. Mit einem Strukturgleichungsmodell wird gezeigt, dass das mathematische Vorwissen vor Schuleintritt eine sehr gute Vorhersage der schulischen Rechenleistung ermöglicht. Die nonverbale Intelligenz besitzt keinen darüber hinausgehenden inkrementellen Vorhersagewert. Auf der Grundlage eines klassifikatorischen Ansatzes (RATZ-Index) erlaubt das Vorwissen eine sehr gute Vorhersage von Rechenschwierigkeiten. Konsequenzen für Frühdiagnose und Frühförderung im Vorschulalter werden diskutiert. Schlüsselbegriffe: Mathematisches Vorwissen, Frühdiagnostik, Rechenleistung, Rechenschwierigkeiten, Dyskalkulie ■ Empirische Arbeit Diagnose mathematischen Vorwissens im Vorschulalter und Vorhersage von Rechenleistungen und Rechenschwierigkeiten in der Grundschule Steffi Weißhaupt, Sabine Peucker, Markus Wirtz Institut für Psychologie der Pädagogischen Hochschule Freiburg Psychologie in Erziehung und Unterricht, 2006, 53, 236 - 245 © Ernst Reinhardt Verlag München Basel Diagnose mathematischen Vorwissens 237 Vorwissen, nonverbale Intelligenz, Gedächtniskapazität, visuelle Vorstellungsfähigkeit und Konzentrationsfähigkeit untersucht. In der Gruppe dieser Prädiktoren besaß das mathematische Vorwissen die höchste Prädiktionsgüte für Rechenfertigkeiten. Ein Teil der Kinder weist zu Schulbeginn einen Rückstand in der Entwicklung bereichsspezifischen Vorwissens auf, wie Untersuchungen zur Diagnose und vorschulischen Förderung des Zahlkonzepts (Van de Rijt, Van Luit & Hasemann, 2000) zeigen. Bei diesen Kindern ist das Risiko für Schwierigkeiten beim Rechnenlernen erhöht. Rechenschwierigkeiten äußern sich in weit unterdurchschnittlichen Leistungen im arithmetischen Bereich (Zielinski, 1998). Für Kinder mit Rechenschwierigkeiten besteht ein erheblicher Förderbedarf (Lorenz & Radatz, 2000). Das frühzeitige Erkennen von Kindern mit Entwicklungsrückständen im mathematischen Vorwissen und deren vorschulische Förderung könnte ein wichtiges Element zur Prävention von Rechenschwierigkeiten sein (Werner, 1999). Sowohl für die Frühdiagnose als auch für die Prävention von Rechenschwierigkeiten wird Wissen darüber benötigt, welche Komponenten innerhalb des mathematischen Vorwissens dem Rechenerwerb zugrunde liegen und möglicherweise „Nadelöhre“ (Fritz & Ricken, 2005) für die Wissensaneignung darstellen. Bislang existieren dazu nur wenige Studien (Fritz, 2003; Fritz & Ricken, 2005; Gaupp, Zoelch & Schumann-Hengsteler, 2004; Jacobs & Petermann, 2003). Kinder verwenden Zahlen in unterschiedlichen Bedeutungen und integrieren diese Bedeutungen zunehmend: Zahl als Element innerhalb der Zahlwortreihe (beim Aufsagen der Zahlwortreihe), Zahl als Bezeichnung für ein gezähltes Element (beim Zählen konkreter Objekte), Kardinalzahl (die Zahl beschreibt die Anzahl einer konkreten Menge), Ordinalzahl (die Zahl beschreibt die Position eines Elements in einer geordneten Menge) und Zahl als Maßzahl (Fuson, 1988; Fritz & Ricken, 2005). Ein weiterer Bedeutungsaspekt einer Zahl ist deren Zusammensetzung aus anderen Zahlen. Resnick (1989) bezeichnet das Wissen um Zusammensetzungen von Zahlen aus anderen Zahlen als Teile-Ganzes-Schema. Nach Resnick (1989) und Stern (1998) stellt der Erwerb des Teile-Ganzes-Schemas und seine Anwendung auf quantitative Situationen einen entscheidenden Schritt in der Entwicklung des mathematischen Verständnisses dar, da es die Voraussetzung für die Entwicklung von nicht zählenden Rechenstrategien, für das Verstehen von mathematischen Sachsituationen und für das Verständnis des Stellenwertsystems bildet. Piaget weist beim Erwerb mathematischen Wissens dem Zahlinvarianzprinzip (Unabhängigkeit der Anzahl einer Menge von Elementen von deren räumlichen Anordnung) die zentrale Rolle zu. Es kann jedoch davon ausgegangen werden, dass Kinder, auch wenn sie Invarianzaufgaben noch nicht lösen können, ein partielles Verständnis der Zahl besitzen (Moser Opitz, 2001). Es wird angenommen, dass Kinder mathematische Prinzipien wie die Zahlinvarianz und das Kardinalzahlprinzip zunächst bei Mengen bis zu vier Gegenständen entdecken und diese dann auf größere Mengen generalisieren (Starkey & Cooper, 1995). Hierbei wird dem unmittelbaren Erfassen kleiner Mengen bis vier ohne zu zählen - Simultanerfassung oder Subitizing - Bedeutung zugeschrieben. Im Prozess der Konstruktion mathematischen Wissens sind schon sehr früh protoquantitative Schemata (Wissen über Mengen ohne exakte Quantifizierung) vorhanden. Resnick (1989) beschreibt drei Arten dieser Schemata: das Schema des Mengenvergleichs (ohne zu zählen entscheiden, welche Menge größer oder kleiner ist), das Schema der Zunahmebzw. Abnahme von Mengen (beinhaltet das Verständnis, dass eine Menge größer wird, wenn etwas hinzugefügt wird, und kleiner wird, wenn etwas entfernt wird) und das protoquantitative Teile-Ganzes-Sche- 238 Steffi Weißhaupt et al. ma (Wissen über das Zerlegen und Zusammenfügen von Mengen). Resnick sieht in der Verbindung dieser Schemata mit der Zählentwicklung die Basis für das Verständnis grundlegender Prinzipien des Zahlsystems. Eine Vielzahl von empirischen Untersuchungen weisen der Zählentwicklung eine bedeutsame Rolle für den Erwerb mathematischen Wissens zu (Fuson, 1988; Gelman & Gallistel, 1978; Wynn, 1990). Beim Aufsagen der Zahlwörterfolge steht vermutlich zunächst der Reihenfolgeaspekt von Zahlen (ordinaler Zahlaspekt) im Vordergrund (Gerster & Schultz, 2000). Beim Zählen konkreter Elemente wird eine Eins-zu-Eins-Zuordnung von Zahl zu Objekt vorgenommen und den gezählten Objekten werden Positionen innerhalb der geordneten Menge zugewiesen (Ordinalzahlverständnis). Kenntnis der Zahlwortreihe und flexibler Umgang mit der Zahlwortreihe entwickeln sich im Zusammenhang mit zunehmendem Kardinalzahlverständnis (Verständnis der Zahl als Anzahl) und ermöglichen den Einsatz immer fortgeschrittenerer Zählstrategien (Geary, 1994). So setzt das Weiterzählen von einer Zahl das Aufbrechen der Zahlwortreihe und das kardinale Verständnis der Zahl, von der weitergezählt wird, voraus (Fuson, 1988). Erfassen Kinder auch den dazu zu zählenden Summanden kardinal, können sie die Zahlwörter selbst und damit unabhängig von konkreten Objekten verbal zählen (Fuson, 1988). Die vollständig reversible Zahlwortreihe schließt auch Teile-Ganzes-Verständnis ein und ermöglicht Ableitungsstrategien. Auch Abrufstrategien werden nach Siegler (1987) schon von einem Teil der Vorschulkinder angewendet. Verschiedene Zählstrategien basieren entsprechend auf unterschiedlichen Repräsentationen von Zahlen beim Zählen. Zahlvorstellung wird entwickelt, indem zunächst Zahlwörter mit der Vorstellung einer Menge von Dingen verbunden werden, die Vorstellung wird zunehmend abstrakter (Steffe, 1992). Diskutiert wird, ob der Zugang zum Rechnen über die Anzahl (Kardinalzahlverständnis) oder die Zählzahl (Ordinalzahlverständnis) besser gelingt (Gerster & Schultz, 2000; Moser Opitz, 2001; Wember, 2003). Rechnen ohne kardinales Verständnis erschwert Teile- Ganzes-Verständnis und die Entwicklung nicht zählender Rechenstrategien, die Kinder gelangen möglicherweise in die Sackgasse des zählenden Rechnens (Gerster & Schultz, 2000). Bereits Vorschulkinder können innerhalb konkreter Kontexte einfache mathematische Sachaufgaben lösen und dabei ihr mathematisches Wissen anwenden (Sophian & Vong, 1995). Gerster und Schultz (2000) bezeichnen die Fähigkeit, zwischen einer konkreten Sachsituation, einer modell- oder bildhaften Vorstellung von Quantitäten und einer symbolischen Darstellung hin und her zu übersetzen, als Operationsverständnis (also tatsächliches Verständnis einer Grundrechenoperation, z. B. der Addition). Aus diesen entwicklungspsychologischen Ansätzen lassen sich folgende für das Rechnenlernen bedeutsamen mathematischen Vorwissenskomponenten ableiten: mengenbezogenes Vorwissen: Mengenvergleich, Mengeninvarianz, Simultanerfassung; zahlbezogenes Vorwissen: Zahlwortreihe (Kenntnis und flexibler Umgang), Kardinalzahlverständnis, Ordinalzahlverständnis, Zählstrategien, Repräsentation von Zahlen, Teile-Ganzes-Schema und Anwendung von Zahlwissen in konkreten Kontexten. Zu prüfen ist, welche Bedeutung diese Vorwissenskomponenten für den Erwerb von Rechenfertigkeiten und für die Entstehung von Rechenschwierigkeiten aufweisen: Lassen sich Rechenfertigkeiten am Ende der ersten Klasse durch die untersuchten Komponenten mathematischen Vorwissens vorhersagen? Unter dem Aspekt der Frühdiagnostik und Frühförderung interessiert vor allem auch, inwieweit Rechenschwierigkeiten für ein einzelnes Kind vorhersagbar sind. Diagnose mathematischen Vorwissens 239 Methode Ablauf der Untersuchung An der Untersuchung nahmen 129 Vorschulkinder im Alter von 5; 6 bis 6; 6 Jahren teil (alle Vorschulkinder von neun über ganz Freiburg verteilten Kindergärten). Das mathematische Vorwissen wurde zu zwei Zeitpunkten (sechs und zwei Monate vor Schulbeginn mit dem Diagnostikum zur Entwicklung des Zahlkonzepts (DEZ) (Peucker & Weißhaupt, 2002) erhoben. Die nonverbale Intelligenz wurde zum ersten Messzeitpunkt mit dem CFT 1 (Weiß & Osterland, 1997) erfasst. Eingesetzt wurden die Untertests Klassifikationen (Cronbachs Alpha, α = .73), Ähnlichkeiten ( α = .82) und Matrizen ( α = .77). Die Reliabilität der Summe der drei Untertests ist α = .91. Zwischen den beiden Messzeitpunkten wurde etwa die Hälfte der Kinder mit dem Förderprogramm zur Entwicklung des Zahlkonzepts gefördert (vgl. Peucker & Weißhaupt, 2005). Die Rechenfertigkeiten der Kinder (N = 117) wurden am Ende der ersten Klasse mit dem DEMAT 1 + (Cronbachs Alpha α = .89) (Krajewski, Küspert & Schneider 2002) erhoben. Untersuchte Komponenten mathematischen Vorwissens Die Aufgaben des Diagnostikums DEZ wurden überwiegend mit konkretem Material vorgegeben. Die Kinder wurden einzeln befragt. Mengenvergleich: Zur Erfassung des Mengenvergleichs wurden den Kindern zwei Aufgaben zum Vergleich zweier Punktmengen vorgelegt. Mengeninvarianz: Die untere von zwei identischen Reihen konkreter Elemente (8) wurde vor den Augen des Kindes auseinander gezogen, das Kind sollte entscheiden, ob in der unteren Reihe jetzt gleichviel, mehr oder weniger Elemente liegen. Simultanerfassung: Den Kindern wurden die unstrukturierten Punktemengen der Drei, der Zwei und der Vier kurz (2 Sekunden) präsentiert, sie mussten sie benennen. Kenntnis und flexibler Umgang mit der Zahlwortreihe: Die Kenntnis der Zahlwortreihe wurde durch das Aufsagen der Zahlwortreihe bis 20 erfasst. Der flexible Umgang mit der Zahlwortreihe wurde über eine Aufgabe zum Weiterzählen und eine Aufgabe zum Rückwärtszählen erhoben. Kardinalzahlverständnis: Das Kardinalzahlverständnis wurde durch eine Aufgabe zur Zahl- Menge-Zuordnung und eine Aufgabe zur Menge- Zahl-Zuordnung operationalisiert. Bei einer dritten Aufgabe wird das erneute Benennen der bereits ermittelten Anzahl einer Menge nach deren räumlicher Veränderung verlangt (bezieht sich die letzte beim Zählen genannte Zahl auf die Anzahl? ). Ordinalzahlverständnis: Innerhalb einer Reihe konkreter Elemente sollten die Kinder erst ein Element einer bestimmten Position zeigen, dann die Position eines gezeigten Elements in der Reihe bestimmen. In einer dritten Aufgabe sollten konkrete Elemente der Länge nach geordnet werden. Zählstrategien: Zählstrategien wurden mit zwei Aufgaben erfasst, bei denen die Gesamtmenge aus zwei in Würfelbildern angeordneten Teilmengen ermittelt werden musste. Repräsentation von Zahlen: Zur Erfassung von Repräsentationen von Zahlen wurden zwei Aufgabentypen eingesetzt. Die Kinder sollten jeweils die Gesamtmenge aus zwei Teilmengen ermitteln. Beim ersten Aufgabentyp war eine Teilmenge versteckt und wurde nur genannt, die andere Teilmenge war als Würfelbild sichtbar. Beim zweiten Aufgabentyp waren beide Teilmengen versteckt und wurden nur genannt. Teile-Ganzes-Schema: Das Teile-Ganzes-Schema wurde ebenfalls durch zwei Aufgabentypen erhoben. Beim ersten Aufgabentyp musste eine konkrete Menge in der Vorstellung in zwei Teilmengen aufgeteilt werden. Beim zweiten Aufgabentyp bekam das Kind eine Teilmenge als Würfelbild präsentiert, die andere Teilmenge war versteckt. Die Gesamtmenge wurde genannt, nach der versteckten Teilmenge wurde gefragt. Anwendung von Zahlwissen: (Zur Klassifikation der Aufgaben s. Stern, 1998.) Die ersten beiden Aufgaben waren Austauschaufgaben mit konkretem Material: zu einer Ausgangsmenge kam etwas hinzu oder von einer Ausgangsmenge wurde etwas weggenommen, gefragt war die Endmenge. Die dritte Aufgabe war eine Vergleichsaufgabe. Hier mussten zwei Mengen nur in der Vorstellung zueinander in Beziehung gesetzt werden, gefragt wurde nach der Differenzmenge. Bei einigen Aufgaben (z. B. zur Zahlwortreihe, zum Ordinalzahlverständnis) wurde die Anzahl der Punkte abgestuft danach vergeben, ob das Kind die Aufgabe sofort oder erst mit Hilfe lösen konnte. Bei anderen Aufgaben hing die Anzahl der vergebenen Punkte nicht nur von der Exaktheit der Lösung, sondern auch von der Lösungsstrategie ab (bei Zählstrategien, Repräsentation von Zahlen, Teile-Ganzes, Anwendung von Zahlwissen). So wurde z. B. bei den Zählstrategien „alles zählen“, „weiterzählen“ und „Abruf“ unterschieden, bei den Repräsentationen von Zahlen die Art der Repräsentation (extern, intern). Ergebnisse Zur Prüfung der Reliabilität wurde die interne Konsistenz berechnet. Die Reliabilität (Cronbachs Alpha) für den gesamten Test ergab α = .83. 240 Steffi Weißhaupt et al. Im DEZ erreichten die Kinder zum 1. Messzeitpunkt von 84 möglichen Punkten einen Mittelwert von M = 54.50 (s = 12.45). Der mittlere Intelligenzquotient lag bei M = 108.95 (s = 12.06). Im DEMAT 1 + erzielten die Kinder bei 36 möglichen Punkten einen Mittelwert von M = 27.55 (s = 6.03), der Prozentrang des Mittelwertes ist M = 61.18. Die Korrelation zwischen DEZ zum 1. Messzeitpunkt und Intelligenz lag bei r = .45, p < .001, die Korrelation zwischen Intelligenz und DEMAT 1 + bei r = .44, p < .001, die Korrelation zwischen DEZ zum 1. Messzeitpunkt und DEMAT bei r = .57, p < .001. Vorhersage der Rechenleistung Es wurde untersucht, inwieweit die erhobenen mathematischen Vorwissenskomponenten Rechenfertigkeiten am Ende der ersten Klasse vorhersagen. Um die multivariate Vorhersagestruktur der Intelligenz und des zahlbezogenen Vorwissens auf die Mathematikleistung am Ende der ersten Klasse empirisch schätzen zu können, wurde ein lineares Strukturgleichungsmodell spezifiziert (Bollen, 1989; Kline, 2004). Abbildung 1 zeigt die Modellstruktur und die geschätzten Pfadkoeffizienten. Die Intelligenz wurde als potenzieller Prädiktor für das zahlbezogene Vorwissen im DEZ Abbildung 1: Strukturgleichungsmodell zur Vorhersage der Leistungen im DEMAT 1 + am Ende des ersten Schuljahres. (Werte an den Pfeilen zu den Indikatorvariablen = standardisierte Ladungen; Werte an den Indikatorvariablen = Kommunalitäten; alle Ladungen sind signifikant, signifikante Pfade im Strukturmodell sind fett markiert; zusätzlich wurden Korrelationen der Indikatoren des DEZ über die Zeit zugelassen und die unstandardisierten Ladungen des DEZ als messzeitpunktinvariant restringiert; Kline, 2004) _1 steht für den 1. Messzeitpunkt der entsprechenden Unterkonstrukte _2 steht für den 2. Messzeitpunkt der entsprechenden Unterkonstrukte Die Intelligenz wurde zum 1. Messzeitpunkt erhoben. Diagnose mathematischen Vorwissens 241 für beide Messzeitpunkte sowie für den DE- MAT 1 + am Ende des ersten Schuljahres berücksichtigt. Das zahlbezogene Vorwissen wurde für die ersten beiden Messzeitpunkte als latentes Konstrukt operationalisiert, das über die im DEZ erfassten Unteraspekte geschätzt wird. Die latente Variable Rechenleistung wurde über die Subtests des DEMAT 1+ operationalisiert. Da im ursprünglichen Modell lediglich 5 Subtests eine signifikante Ladung aufwiesen, wurden nur diese fünf für die endgültige Modellschätzung verwendet (Hair, Anderson, Tatham & Black, 2004). Es wurde ein Pfad für die Vorhersageleistung im DEZ von Messzeitpunkt 1 zu 2, sowie Pfade zur Vorhersage des DEMAT 1 + durch den DEZ im Modell spezifiziert. Die Schätzung des Pfadmodells erfolgte mittels des Programms AMOS 4.0 (Arbuckle & Wothke, 1999). Das geschätzte Modell kann die Dateninformationen gemäß des χ 2 -Wertes (Tabelle 1) nicht vollständig fehlerfrei vorhersagen, jedoch weisen die Maße des approximativen Modellfits mit Werten größer .95 (Kline, 2004) auf eine sehr gute Modellpassung hin. Zwischen den latenten Variablen im Strukturmodell sind die Pfade von ‚Intelligenz‘ nach ‚DEZ_t1‘ (26 % Varianzaufklärung), von ‚DEZ_t1‘ nach ‚DEZ_t2‘ (86 % Varianzaufklärung) sowie von ‚DEZ_t2‘ nach ‚DE- MAT‘ (50% Varianzaufklärung) 1 stark ausgeprägt. Die Daten in Tabelle 2 zeigen, dass lediglich diese Koeffizienten im Strukturmodell signifikant sind. Es ergibt sich ein eindeutiges Bild: Die Intelligenz ist ein signifikanter Prädiktor für das zahlbezogene Vorwissen ein halbes Jahr vor Schulbeginn, dieses Vorwissen erweist sich als hoch stabil bis zur Einschulung und erlaubt dann mit 50 % Varianzaufklärung eine sehr hohe Vorhersageleistung der Mathematikleistungen am Ende der ersten Klasse. Stabilität bedeutet hier, dass die relative Rangreihe der Kinder nahezu unverändert bleibt. Diese Aussage ist unabhängig davon, ob das durch- 1 Dieser aufgeklärte Varianzteil bleibt mit 49 % nahezu unverändert, wenn die nicht signifikanten Pfade von Intelligenz und DEZ_t1 zu DEMAT 1 + aus dem Modell eliminiert werden. b S. E. C. R. p Intelligenz → DEZ_t1 0.060 0.012 5.142 < .01 Intelligenz → DEZ_t2 0.008 0.009 0.892 .37 Intelligenz → DEMAT 0.006 0.007 0.953 .34 DEZ_t1 → DEMAT -0.029 0.227 -0.126 .90 DEZ_t1 → DEZ_t2 0.917 0.087 10.600 < .01 DEZ_t2 → DEMAT 0.278 0.100 2.772 < .001 Tabelle 2: Signifikanztestergebnisse für die unstandardisierten Pfadkoeffizienten im Strukturmodell in der Gruppe aller Kinder χ 2 df p χ 2 / df NFI TLI CFI RMSEA Grenzen 1) > .05 < 2 > .90 > .90 > .90 < .08 Gesamt 312.07 164 <.001 1.90 .96 .97 .98 .08 b (IQ → DEMAT) = 0 312.94 165 <.001 1.90 .96 .97 .98 .08 Kontrast 1 .87 1 .351 .87 1) Grenzen für akzeptablen Modellfit (nach Hair et al., 2004; Kline, 2004) Tabelle 1: Maße des Modellfits für das berechnete Strukturgleichungsmodell zur Vorhersage der Rechenleistung 242 Steffi Weißhaupt et al. schnittliche Vorwissen über diesen Zeitraum systematisch anwächst (Wirtz & Caspar, 2002). Dass die vor der Einschulung erhobene Intelligenz keinen inkrementellen Vorhersagewert für die Leistung im DEMAT 1+ am Ende des ersten Schuljahres besitzt, wurde mittels eines hierarchischen Modellvergleichs nachgewiesen, der eine strengere Hypothesentestung als die Betrachtung der Signifikanz des b-Gewichtes in Tabelle 2 darstellt (Kline, 2004). Hierzu wurde ein Alternativmodell definiert, in dem der Pfad ‚Intelligenz → DEMAT‘ auf den Wert 0 restringiert wurde. In der Zeile „Kontrast 1“ in Tabelle 1 ist die approximativ χ 2 -verteilte Prüfgröße für diese Hypothese abgetragen. Der nicht signifikante Wert zeigt, dass eine Eliminierung dieses Pfades aus dem Modell zu keiner schlechteren Datenpassung führt und dass dieser Pfad somit nicht im Modell enthalten sein muss. Dieses Ergebnis ist nicht so zu interpretieren, dass die Intelligenz vor der Einschulung nicht im Zusammenhang mit der Mathematikleistung im DEMAT 1 + am Ende der ersten Klasse steht, sondern so, dass die Intelligenz keinen zusätzlichen Vorhersagebeitrag leistet, wenn die Leistungen im DEZ vor Einschulung bekannt sind. 2 Das hier betrachtete Modell wurde in der Gruppe aller Kinder (N = 129) geschätzt. Eine solche Schätzung ist nur zulässig, wenn die Modelleigenschaften zwischen Kindern in der ‚Fördergruppe‘ und der ‚Kontrollgruppe‘ nicht systematisch differieren. Diese Annahme wurde in Bezug auf zwei Aspekte überprüft. Zum einen zeigte sich, dass sich geförderte und nicht geförderte Kinder im DEZ zum 1. Messzeitpunkt (univariate Varianzanalyse: F (1,127) = 1.565, p = .21) im IQ (F (1,127) = 0.014, p = .91) und am Ende der ersten Klasse in den Rechenleistungen (F (1,115) = 0.004, p = .95) nicht unterschieden. Zum anderen wurde die Gruppeninvarianz des Vorhersagemodells in einem Multigruppenvergleich getestet. Es bestätigte sich, dass die Gruppenzugehörigkeit nicht als Moderatorvariable wirksam wird und folglich die Modelleigenschaften zwischen Kindern in der ‚Fördergruppe‘ und der ‚Kontrollgruppe‘ nicht systematisch differieren (Homburg & Giering, 2001). 3 Vorhersage von Rechenschwierigkeiten Es wurde untersucht, inwieweit für jedes einzelne Kind schon im Vorschulalter Vorhersagen über in der Schule auftretende Probleme beim Rechnen getroffen werden können. Hier wurde ein klassifikatorischer Ansatz gewählt (Marx, 1992). Die Kinder wurden entsprechend ihrer Ausprägung in der Prädiktorvariablen (mathematisches Vorwissen im Kindergarten) als gefährdet oder nicht gefährdet und entsprechend ihrer Ausprägung in der Kriteriumsvariablen (Rechenleistung in der Schule) als auffällig oder nicht auffällig klassifiziert. Als Maß für die Güte der Vorhersage wurde der Ratz-Index (Marx, 1992) gewählt. Dieser gibt die relative Überlegenheit der empirischen Trefferquote gegenüber der Zufallstrefferquote an. Ein Ratz-Index über 66 % lässt auf eine sehr gute Klassifikation schließen. Als gefährdet wurde ein Kind eingeschätzt, wenn es vor Schulbeginn noch kein sicheres Kardinalzahlverständnis entwickelt hat und über die Zahlwortreihe noch nicht flexibel verfügt. Damit sind wenig entwickelte Zählstrategien und eine kaum entwickelte Zahlvorstellung und fehlendes Teile-Ganzes-Verständnis verbunden, die Anwendung von Zahlwissen auf konkrete Situationen gelingt 2 Auch wenn für den DEZ nur die Daten des ersten Messzeitpunktes durch Elimination des Konstruktes DEZ_t2 aus dem Modell betrachtet werden, ergibt sich dieselbe Ergebnisstruktur. Der Pfad von DEZ_t1 nach DEMAT 1 + hat dann einen signifikanten Wert von β = .61 (C.R. = 8.924, p < .01), während der Pfad von Intelligenz nach DEMAT 1 + mit β = .61 (C.R. = 1.011, p = .32) nicht signifikant von Null abweicht. 3 Im Multigruppenvergleich wurden alle sechs Vorhersagegewichte im Strukturmodell simultan zwischen den Vergleichsgruppen gleich gesetzt. Für diese Restriktionen ergab sich ein nicht signifikanter χ 2 -Differenztest ( ∆χ 2 = 10.094, df = 6, p < .12), wodurch die Gruppeninvarianz des Strukturmodells bestätigt werden konnte. Demzufolge ermöglicht die oben dargestellte Analyse aussagekräftige Ergebnisse bezüglich der Vorhersagestruktur unabhängig von spezifischen Eigenschaften der beiden Subgruppen. Diagnose mathematischen Vorwissens 243 kaum. Das fehlende Verständnis der Anzahl erschwert vermutlich das Erkennen der Unabhängigkeit der Anzahl einer Menge von deren Anordnung (Mengeninvarianz). Kinder wurden als gefährdet eingeschätzt, wenn sie mindestens in diesen sieben Vorwissenskomponenten Risikopunkte erhalten. Möglicherweise kann ein Kind unabhängig davon Mengen vergleichen und simultan erfassen, dieses mengenbezogene Vorwissen ist eine wichtige Voraussetzung, aber keine Garantie für die Entwicklung zahlbezogenen Vorwissens. Auch über Ordinalzahlverständnis könnte ein solches Kind eventuell verfügen, betrachtet aber vermutlich dann Zahlen beim Rechnen als Positionen auf der Zahlwortreihe. Für alle zehn Vorwissenskomponenten wurde ein inhaltliches Kriterium festgelegt, wann eine solche Vorwissenskomponente bei einem Kind als (noch) nicht entwickelt angesehen wird. Ein Kind erhielt z. B. einen Risikopunkt im flexiblen Umgang mit der Zahlwortreihe, wenn Weiterzählen und Rückwärtszählen nicht sofort und fehlerfrei gelingt. Für die Einteilung der Kinder in auffällig bzw. unauffällig in ihrer Rechenleistung existieren noch keine verbindlichen Richtlinien, auf welchem Niveau einer Rechenleistung von Rechenschwierigkeiten gesprochen werden kann. Zur besseren Vergleichbarkeit mit bereits vorliegenden Untersuchungen (Krajewski, 2003), wurden Rechenschwierigkeiten ab einem Prozentrang von 15 im DEMAT 1 + zugeschrieben. Tabelle 3 zeigt die Klassifikation der nicht geförderten Kinder (1. und 2. Messzeitpunkt stimmen überein). Alle drei am Ende der ersten Klasse als auffällig klassifizierten Kinder wurden bereits im Kindergarten aufgrund ihres mathematischen Vorwissens als gefährdet identifiziert. Dies entspricht einer sehr hohen Sensitivität (Verhältnis der Anzahl der richtig als auffällig vorhergesagten Kinder zur Gesamtzahl der auffälligen Kinder) von 1.0. Von den 48 als unauffällig klassifizierten Kindern wurden 46 im Vorschulalter als nicht gefährdet eingeschätzt. Lediglich zwei Kinder wurden im Vorschulalter als gefährdet eingeschätzt und waren am Ende der ersten Klasse in ihrer Rechenleistung nicht auffällig. Die Spezifität (das Verhältnis der Anzahl der richtig als unauffällig vorhergesagten Kinder zur Gesamtzahl der unauffälligen Kinder) beträgt somit 0.96. Der Ratz-Index unter Berücksichtigung von Ausfällen bei den Risikokindern beträgt 99 % und spiegelt die sehr gute Klassifikation wieder. Cohens κ als Maß der Übereinstimmung (Wirtz & Caspar, 2002) nimmt mit .73 ebenfalls einen hohen und signifikanten Wert an (t (1) = 5.42, p < .001). Diskussion Im Rahmen der vorgestellten Untersuchung wurde die Vorhersage von Rechenleistungen und Rechenschwierigkeiten am Ende der ersten Klasse durch mathematisches Vorwissen von Kindern vor Schuleintritt untersucht. Die mit dem Diagnostikum zur Entwicklung des Zahlkonzepts erfassten vorschulischen Wissenskomponenten können zu beiden Zeitpunkten (sechs und zwei Monate vor Schul- Tabelle 3: Klassifikation der nicht geförderten Kinder zum 1. und 2. Messzeitpunkt Kriterium (Rechenleistung 1. Klasse) auffällig unauffällig Prädiktor gefährdet 3 2 (mathematisches Vorwissen) nicht gefährdet 0 46 244 Steffi Weißhaupt et al. beginn) die Rechenfertigkeiten am Ende der ersten Klasse gut vorhersagen. Die sechs Monate vor Schulbeginn erhobene Intelligenz erweist sich als signifikanter Prädiktor für das zahlbezogene Vorwissen sechs Monate vor Schulbeginn, liefert jedoch darüber hinaus keinen prädiktiven Nutzen zur Vorhersage der Rechenfertigkeiten. Die präsentierten Ergebnisse stimmen mit Befunden von Stern (1997) und Stern (2003) überein, die einen indirekten Einfluss der Intelligenz beim Erwerb mathematischen Vorwissens belegen. Zahlbezogenes Vorwissen ist sehr stabil bis zur Einschulung und erlaubt eine sehr gute Vorhersage der Varianz in den Rechenleistungen am Ende der ersten Klasse. Dies hat auch Krajewski (2003) gezeigt: In ihren Untersuchungen stellten sich Zählfertigkeiten, die Kenntnis der Zahlen sowie erste Rechenfertigkeiten als bedeutendste Vorläuferfertigkeiten für schulische Mathematikleistungen heraus (vgl. auch Krajewski & Schneider, 2006, in diesem Band). Auch die individuelle Vorhersage von Rechenschwierigkeiten durch das mathematische Vorwissen unter Berücksichtigung von Entwicklungsrückständen vor allem in den Komponenten des zahlbezogenen Vorwissens gelingt hier sehr gut. Insbesondere die Sensitivität des Diagnostikums ist hoch. Damit erscheint eine Frühdiagnose mit dem Ziel einer Frühförderung im Kindergarten realisierbar. Da das Diagnostikum verschiedene Bereiche mathematischen Vorwissens erfasst, sind auch individuelle Fördermaßnahmen ableitbar bzw. Differenzierungen des Förderprogramms. An einer weiteren Differenzierung des Förderprogramms zur Entwicklung des Zahlkonzepts (FEZ) wird gearbeitet. Diagnostik und Förderung könnten auch erst im Anfangsunterricht verzahnt mit dem schulischen (Förder-)Angebot erfolgen. Inwieweit das Diagnostikum zur Entwicklung des Zahlkonzepts auch noch am Anfang der ersten Klasse hinreichend differenziert das Vorwissen der Kinder erfasssen kann, wird gegenwärtig untersucht. Um die großen Unterschiede im Vorwissen der Kinder erklären zu können, sind weitere Untersuchungen im früheren Kindergartenalter notwendig. Literatur Arbuckle, J. L. & Wothke, W. (1999). Amos 4.0 user’s guide. Chicago: Small Waters Corp. Bollen, K. A. (1989). Structural equations with latent variables. Oxford: Wiley. Fritz, A. (2003). Bedingungsvariation und Fehleranalyse als Beobachtungszugänge zur Diagnostik arithmetischer Kompetenz. In A. Fritz, G. Ricken & S. 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