Im letzten Jahrzehnt häufen sich die Hinweise dafür, dass schon im Grundschulalter bedeutende Leistungsunterschiede in den mathematischen Kompetenzen von Kindern bestehen und sich diese bereits zu Schulbeginn zeigen (Rinkens & Hönisch, 1997; Schipper, 1998; Schmidt, 1982; Schulz, 1995). Obwohl einerseits die mathematischen Kenntnisse von Schulanfängern selbst in Sonderklassen im Allgemeinen unterschätzt werden (Moser- Predicting Mathematical School Achievement by Mathematical Precursors Assessed in Kindergarten Summary: The aim of the 4-year German longitudinal study presented in this paper was to identify specific mathematical precursors that were supposed to predict later mathematical achievement but not to predict later literacy. A sample of 153 preschool children was tested regarding early numerical competencies based on a theory about early mathematical development. Later on in school, children’s mathematical and spelling competencies were investigated, both at the end of Grades 1 and 4. As a main result, preschool competencies regarding quantities and numbers turned out to be the most powerful predictors of later mathematical achievement. About 26 percent of the variance in mathematical performance assessed at primary school could be explained by early number invariance and the ability to link discrete quantities and numbers. These abilities were influenced by basic numerical skills and intelligence. There was no direct effect of intelligence on math achievement at school, regardless of measurement point. However, the influence of social economic status increased during primary school. Number retrieval had an impact on basic numerical skills and mathematics as well as on spelling. Thus only basic numerical skills and quantity-number-linkage competencies were identified as specific precursors of mathematical school achievement. Keywords: Mathematical achievement, prediction, precursors, specifity, longitudinal study Zusammenfassung: Es werden Ergebnisse einer vierjährigen Langzeitstudie vorgestellt, die die Identifikation von spezifischen mathematischen Vorläuferfertigkeiten zum Ziel hatte. 153 Vorschüler wurden hinsichtlich früher mathematischer Kompetenzen untersucht, die an ein entwicklungspsychologisches Modell zum Erwerb früher mathematischer Kompetenzen angelehnt waren. Am Ende der ersten und vierten Klasse wurden die Mathematik- und Rechtschreibleistungen dieser Kinder erhoben. Es zeigte sich, dass vorschulische Mengen-Zahlen-Kompetenzen einen Großteil der Varianz in den späteren Mathematikleistungen erklärten. So konnten 26 % der Unterschiede in den Mathematikleistungen am Ende der Grundschulzeit durch die bereits vor Schuleintritt erfassten Invarianz- und Anzahlkonzepte aufgeklärt werden. Diese Kompetenzen wurden wiederum von numerischen Basisfertigkeiten und in geringerem Maße von der Intelligenz vorhergesagt. Die Intelligenz zeigte darüber hinaus keinen direkten Einfluss auf die schulischen Mathematikleistungen. Demgegenüber nahm der Einfluss der sozialen Schicht auf die Mathematikleistungen mit der Beschulung zu. Da die frühen Mengen-Zahlen-Kompetenzen im Gegensatz zu Intelligenz und Zugriffsgeschwindigkeit keine Varianz in den späteren Rechtschreibleistungen erklären konnten, stellten sie sich als spezifische mathematische Vorläuferfertigkeiten heraus. Schlüsselbegriffe: Mathematik, Vorläuferfertigkeiten, Vorhersage, Spezifität, Längsschnittstudie ■ Empirische Arbeit Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter und ihre Vorhersagekraft für die Mathematikleistungen bis zum Ende der Grundschulzeit Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider Julius-Maximilians-Universität Würzburg Psychologie in Erziehung und Unterricht, 2006, 53, 246 - 262 © Ernst Reinhardt Verlag München Basel Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 247 Opitz, 2002), kommt Wittmann (2001) zum Schluss, dass Schwierigkeiten im Rechnen nicht nur auf schulische Ursachen, sondern auch auf eine unzureichende Förderung im Vorschulalter zurückzuführen sind. So werden andererseits also grundlegende numerische Kenntnisse bei Schuleintritt im Einzelfall oft auch überschätzt. Durch den Blick auf vorschulische Fähigkeiten geht diese Sichtweise über den in der bisherigen Rechenschwächeforschung üblichen Ansatz hinaus. Es werden hierbei weniger solche Defizite als Ursachen schwacher Rechenleistungen betrachtet, die gleichzeitig mit der Rechenschwäche auftreten, die bei normal rechnenden Kindern nicht beobachtet werden können und die eher genetischer Natur entspringen sollten. Vielmehr rücken zusätzlich umweltbedingte Defizite in den Blickpunkt, welche bereits lange vor dem Auftreten schwacher Rechenleistungen zu unterschiedlich guten Startbedingungen in Hinblick auf die Schulmathematik führen und die spätere Entstehung von Rechenschwierigkeiten begünstigen können. Wie z. B. in der Schriftsprachforschung bereits vor drei Jahrzehnten kritisiert worden war, erlaubt das gleichzeitige Vorliegen von kognitiven Defiziten mit schwachen schulischen Leistungen keine Aussage über einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang (Schlee, 1976). So kommen, solange keine Gegenevidenz erbracht ist, auch die bei rechenschwachen Schulkindern beobachteten Defizite (z. B. Richtungsstörungen, Grissemann & Weber, 2000; Milz, 1997) nicht nur als Ursache schwacher mathematischer Leistungen in Betracht, sondern es ist ebenso gut die umgekehrte Kausalrichtung möglich, wonach beispielsweise fehlendes mathematisches Verständnis zum Verwechseln der Rechenrichtungen führt. Genauso verursacht auch ein fehlendes Verständnis der verdrehten deutschen „Zahlensprache“ (bei der arabischen Zahl 15 steht die Fünf hinten, beim Zahlwort „fünfzehn“ vorn), besonders bei fremdsprachigen Kindern, Probleme beim Übertragen von Zahlen aus der Wortin die Ziffernform und umgekehrt (von Aster, 2003); „Richtungsstörungen“ beim Zahlenlesen und -schreiben stellen in diesem Fall also eine Folge mangelnden Sprachverständnisses dar. Abgesehen von der fraglichen Kausalrichtung wurden viele als Ursachen der Rechenschwäche genannte Faktoren (z. B. Raum-Lage-Labilität, Gliederungsschwäche, Speicherschwäche, vgl. Grissemann & Weber, 2000; Milz, 1997) in den Siebziger Jahren bereits als Ursachen der Lese-Rechtschreibschwäche diskutiert (vgl. Schenk-Danziger, 1968). Dies wirft die Frage auf, warum solche Defizite dann ausgerechnet zu schwachen Rechenleistungen führen sollen, wenn sie auch im Zusammenhang mit schwachen Schriftsprachleistungen beobachtet wurden. Um zu überprüfen, welche Defizite ausschließlich für schwache Rechenleistungen verantwortlich gemacht werden können bzw. welche Fähigkeiten spezifische „Vorläuferfertigkeiten“ mathematischen Verständnisses im Allgemeinen darstellen und damit die späteren Mathematikleistungen vorhersagen, sollten daher Studien konzipiert werden, die drei Anforderungen genügen. Nach Schneider (1989) sollten erstens die Vorhersagemerkmale theoriegeleitet ausgewählt werden (theoretische Fundierung). Theorien über die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten sollten also eine plausible Erklärung für den vermuteten Zusammenhang der Vorläuferfertigkeiten mit den späteren Mathematikleistungen liefern. Es sollten zweitens auch in methodischer Hinsicht Maßnahmen getroffen werden, die eine Entscheidung darüber erlauben, ob es sich um eine kausale Beziehung oder lediglich um eine korrelative Verknüpfung der gemessenen Fähigkeiten handelt (Kausalität). Die als mathematische Vorläuferfertigkeiten postulierten Fähigkeiten sollten demnach bereits im Kindergartenalter erhoben werden, da zu diesem Zeitpunkt noch keine Beschulung im Fach Mathematik stattgefunden hat, wodurch eine Kausalwirkung der schulischen Mathematikleistungen auf die 248 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider Vorläuferfertigkeiten ausgeschlossen werden kann. Schließlich sollten mathematische Vorläuferfertigkeiten eine spezifische Wirkung auf die späteren Mathematikleistungen haben und nicht beispielsweise auch die späteren Schriftsprachleistungen vorhersagen (Spezifität). Schon in den achtziger Jahren fanden sich Studien, die der Forderung nach einer zeitlichen Trennung von vermeintlichen Verursachungsfaktoren und mathematischen Fähigkeiten folgten und Zusammenhänge zwischen vorschulischen Kompetenzen und den späteren Mathematikleistungen nachwiesen (Birrell, Phillips & Stott, 1985; Gordon, 1988; Stevenson & Newman, 1986; Weerdenburg & Janzen, 1985). Die Kriterien der Spezifität und der theoretischen Fundierung blieben hier jedoch unberücksichtigt. So weist einerseits keine der Studien nach, dass die hier identifizierten vorschulischen Kompetenzen, wie etwa die visuell-motorische Integrationsfähigkeit, nur Vorläuferfähigkeiten des Rechnens, nicht aber der Schriftsprache darstellen. Andererseits wurden scheinbar willkürlich beliebig viele Merkmale erfasst und mit den späteren Mathematikleistungen in Beziehung gesetzt. Wenn dabei Fähigkeiten wie die Kenntnis des Alphabets und das Schreiben von Kleinbuchstaben die späteren Mathematikleistungen vorhersagten, stellt sich die Frage, wie diese Zusammenhänge theoretisch begründet werden können. Eine kausale Verknüpfung lässt sich weder mit entwicklungspsychologischen Ansätzen, die den Erwerb mathematischer Kompetenzen (z. B. über das Zählen) erklären, noch durch kognitive Modelle der Zahlenverarbeitung begründen; die Zusammenhänge können nur indirekt über andere Faktoren wie etwa die allgemeine Begabung erklärt werden. Andere Studien erhoben die Prädiktoren nicht nur vor Schuleintritt, sondern orientierten sich auch an einzelnen Entwicklungstheorien und folgten damit der Forderung nach theoretischer Fundierung. Aussagekräftige Prädiktoren ließen sich hierbei dennoch nicht finden. Bei Kingma und Koops (1983) sowie Kingma (1984) wirkten sich die Fähigkeiten zur Invarianz und zur Seriation von Längen zwar auf das spätere Verständnis für Nachfolger, Vorgänger und Zahlvergleiche aus; beide Kompetenzen hatten aber keine oder nur geringe Effekte auf die neun Monate später durchgeführten Rechenaufgaben. Ebenso verschwand bei Tiedemann und Faber (1987) der Erklärungswert von Seriation und Mengenkonzepten, wenn die Intelligenz in die Vorhersage mit einbezogen wurde. Da keine vorhersagekräftigen spezifischen Prädiktoren identifiziert wurden, finden sich natürlich auch keine Angaben zu spezifischen Wirkungen solcher Prädiktoren. Soll eine methodisch saubere und umfassende Identifikation spezifischer mathematischer Vorläuferfertigkeiten vorgenommen werden, müssen bei der Planung und Konzeption solcher Studien alle drei genannten Forderungen als Leitkriterien herangezogen werden. Um der fundamentalen Forderung nach einer theoriegeleiteten Auswahl der Vorhersagemerkmale nachzukommen, sind die Vorhersagemerkmale aus entwicklungspsychologischen Theorien abzuleiten. Wie nachfolgend aufgezeigt werden wird, stellen diese Ansätze die frühe Mengen-Zahlen-Kompetenz als spezifische Determinante für den Erwerb mathematischen Verständnisses heraus. Zuvor werden Fähigkeiten betrachtet, die als basale kognitive Determinanten aller Schulleistungen gelten. Hypothetisch unspezifische Determinanten mathematischer Schulleistungen Nach Zielinski (1998) fungieren umfassende Maße der allgemeinen Intelligenz - zumindest oberflächlich betrachtet - als beste Einzelprädiktoren von Schulleistungen. Stern (1997 a) verweist bereits für die Vorschulzeit auf substanzielle Zusammenhänge zwischen frühen mathematischen Fähigkeiten und der Intelligenz. Nach den neuesten Ergebnissen der PISA-Studie ist es für das Abschneiden in Mathematik zudem gerade in Deutschland Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 249 nicht unbedeutend, welcher sozialen Schicht ein Kind entstammt (Ehmke, Hohensee, Heidemeier & Prenzel, 2004). Die Schulleistungen weisen darüber hinaus Zusammenhänge mit den Gedächtnisfähigkeiten eines Kindes auf. So findet sich eine eingeschränkte phonologische Gedächtniskapazität sowohl bei rechenschwachen Kindern (Geary, Brown & Samaranayake, 1991; Geary & Hoard, 2001) als auch bei lese-rechtschreibschwachen Kindern (Daneman, 1987; Schneider & Näslund, 1999; Swanson & Howell, 2001). Ebenso trägt der schnelle Zugriff auf phonologische Fakten im Langzeitgedächtnis (Zugriffsgeschwindigkeit auf das Langzeitgedächtnis) zur Erklärung von Unterschieden in beiden Leistungsbereichen bei (Hecht, Torgesen, Wagner & Rashotte, 2001; Swan & Goswami, 1997; Wolf, 1984). Andere Forscher stellen schließlich auch die Bedeutung der visuellen Vorstellungsfähigkeit (Lorenz, 1992; vgl. Kaufmann, 2003) sowie von Konzentration und Sprachverständnis (Schulz, 1995; von Aster & Göbel, 1990) für die Mathematikleistungen heraus. Da diese Fähigkeiten jedoch für verschiedenste kognitive Leistungen eine übergeordnete Bedeutung haben, werden sie hier den unspezifischen Fähigkeiten zugeordnet. Hypothetisch spezifische mathematische Vorläuferfertigkeiten Entwicklungspsychologische Ansätze sehen frühe Mengen-Zahlen-Kompetenzen als wichtige Determinante mathematischen Verständnisses. Nach Resnick (1989) lernen Kinder mit Erwerb der Sprache eine Vielfalt an unpräzisen Begriffen für Mengen (z. B. „viel“, „wenig“) und erwerben drei Arten so genannter „protoquantitativer Schemata“. Sie können zunächst zwei Mengen durch gleichzeitiges Betrachten miteinander vergleichen und das Ergebnis verbalisieren („größer als“; Vergleichsschema). Später können sie quantitative Vergleiche auch versetzt anstellen und beurteilen, ob eine Menge zu- oder abgenommen hat („mehr als vorher“) bzw. gleich geblieben ist (Zunahme-Abnahme-Schema). Schließlich erlangen sie ein Verständnis dafür, dass sich Mengen in Teile zerlegen und wieder zusammensetzen lassen (Teil-Ganzes- Schema). Parallel zu diesen unpräzisen Mengenkonzepten erlernen sie mit dem Zählen die Fähigkeit, die Anzahl von Elementen auch exakt zu bestimmen und „wenige“ Elemente etwa mit „zwei“ oder „drei“ zu spezifizieren. Resnick betrachtet die protoquantitativen Schemata als wichtigstes Fundament für die spätere mathematische Entwicklung. Sie sieht in der Kopplung dieser unpräzisen Mengenkonzepte mit den sich parallel entwickelnden Zählfertigkeiten die Grundlage für das Verständnis der Grundprinzipien des Zahlsystems. Das Modell in Abbildung 1 (Krajewski, in Druck) beschreibt, wie sich eine solche Kopplung vollzieht und frühe mathematische Kompetenzen über drei Ebenen erworben werden. Ebene I: Numerische Basisfertigkeiten. Auf der ersten Kompetenzebene erwerben Kinder grundlegende Fertigkeiten, die noch kein konzeptuelles Verständnis für den Zusammenhang von Mengen und Zählzahlen erfordern. Sie lernen parallel zum unpräzisen Mengenbegriff (vgl. Resnick: Vergleichsschema) Zählfertigkeiten kennen und können Zahlen bald in ihre exakte Folge bringen. Zählen und Zahlen werden hier noch nicht mit korrespondierenden Mengen in Verbindung gebracht. Die Zahlenfolge wird allenfalls dazu genutzt, um Elemente in eine feste Reihenfolge zu bringen (Ordnungsfunktion), und ist damit noch der Buchstabenfolge vergleichbar. Ebene II: Anzahlkonzept. Die Verknüpfung der Zahlen mit dem numerisch unbestimmten Mengenbegriff vollzieht sich auf der zweiten Ebene. Erst hier erwerben Kinder eine Bewusstheit dafür, dass hinter Zahlen Mengen stehen, dass Zahlen also Anzahlen repräsentieren. Dies vollzieht sich in zwei Phasen. Zunächst werden die Zahlen noch keinen exakten Mengen, sondern nur einem numerisch unbestimmten Kontinuum von Mengen 250 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider zugeordnet (unpräzises Anzahlkonzept). Die Kinder verstehen, dass einige Zahlen (z. B. drei oder zwei) mit kleinen Mengen, andere Zahlen (z. B. zwanzig oder acht) mit großen Mengen und wieder andere Zahlen (z. B. tausend oder hundert) mit sehr großen Mengen korrespondieren. Sie können innerhalb dieser unbestimmten Kategorien aber noch keine exakten Anzahlen (z. B. hundert und tausend) unterscheiden, da dieses Anzahlverständnis noch nicht mit der exakten Zahlenfolge in Verbindung steht. Ihr unpräzises Anzahlkonzept resultiert vielmehr aus der Erfahrung, dass eine Menge „viel“ ist, wenn man an ihr (wie z. B. für acht oder zwanzig) viel zählen - im Sinne von lange zählen - muss. Innerhalb al- Abbildung 1: Entwicklungsmodell früher mathematischer Kompetenzen (Krajewski, in Druck) Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 251 ler Zahlen, für die man beispielsweise „viel zählen“ muss (z. B. acht und zwanzig), können sie noch nicht differenzieren. Erst die Erkenntnis, dass aus der exakten Länge des Zählens eine exakte Menge resultiert und die Anordnung dieser exakten Mengen mit der Zahlenfolge korrespondiert, führt zum präzisen Anzahlkonzept und befähigt die Kinder, Zahlen miteinander zu vergleichen. Unabhängig davon erwerben sie ein Verständnis für Relationen von numerisch unbestimmten Mengen. So verstehen sie, dass man Mengen in Teile zerlegen und wieder zusammensetzen kann (vgl. Resnick: Teil-Ganzes-Schema) und dass Mengen nur dann „mehr“ oder „weniger“ werden, wenn man etwas hinzufügt oder wegnimmt (vgl. Resnick: Zunahme-Abnahme- Schema). Ebene III: Relationszahlkonzept. Wird dieses Verständnis für Mengenrelationen mit dem präzisen Anzahlkonzept verknüpft, begreifen Kinder die Zahlen auch als Relationszahlen und erreichen ein tiefes Verständnis der Zahlstruktur. Nicht nur die Zerlegung und Zusammensetzung sowie die Zu- und Abnahme von Mengen ist nun mit Zahlen darstellbar. Auch Beziehungen (Differenzen) zwischen zwei Mengen, die der unmittelbaren Wahrnehmung nicht mehr zugänglich sind, werden mit Hilfe von Zahlen modelliert (vgl. Stern, 1998). Für keine der in diesem Modell dargestellten Ebenen ist ausschließlich mentales Operieren erforderlich, denn alle Kompetenzen können an geeigneten realen Darstellungsmitteln erworben werden. Darüber hinaus werden die Ebenen weder für verbale Zahlen und visuelle Ziffernzahlen noch für alle Anzahlen gleichzeitig durchlaufen. Die ersten beiden Ebenen stellen mit den numerischen Basisfertigkeiten (I) sowie den Konzepten der Mengenrelationen und der Anzahl (II) Kompetenzen dar, die als mathematische Vorläuferfertigkeiten betrachtet werden können. Das Relationszahlkonzept auf der dritten Ebene spiegelt hingegen Kompetenzen wider, die bereits dem Rechnen und damit wahrem mathematischen Verständnis zuzuordnen sind. Die eigene Längsschnittstudie Zentrales Ziel der vorliegenden Längsschnittstudie war die Identifikation spezifischer Fähigkeiten, durch welche frühzeitig Unterschiede in den Mathematikleistungen der Grundschule vorhergesagt werden können. Mit dieser empirischen Grundlage sollte die Voraussetzung für die Entwicklung eines spezifischen Trainings zur Frühförderung mathematischen Verständnisses geschaffen werden. Als im März 1999 die vorliegende Längsschnittstudie begann, fand sich noch keine Studie zur Identifikation mathematischer Vorläuferfertigkeiten, die den Forderungen an eine umfassende und methodisch saubere Untersuchung spezifisch mathematischer Vorläuferfertigkeiten genügte. Einzig in der Münchener LOGIK-Studie (Longitudinalstudie zur Genese individueller Kompetenzen) waren alle genannten Anforderungen erfüllt. Als spezifisch mathematische Vorläufer wurden hier die Zahlinvarianz sowie die Fähigkeit zum Schätzen kleiner Anzahlen herausgestellt (Stern, 1997 b). Wegen des großen thematischen Umfangs der LOGIK-Studie konnte jedoch nur ein kleiner Bereich an spezifischen numerischen Fähigkeiten erhoben werden. In der vorliegenden Untersuchung sollten daher potenziell relevante mathematische Vorläuferfertigkeiten umfangreicher überprüft und in ihren Beziehungen spezifiziert werden. Methode Untersuchungsdesign Unspezifische und potenziell spezifisch mathematische Vorläuferfähigkeiten wurden zweimal im letzten Kindergartenjahr (sechs bzw. zwei Monate vor Schuleintritt) in etwa halbstündigen Einzeltests erhoben. Die Wahl von zwei Prognosezeitpunkten erfolgte in Anlehnung an Marx’ (1992) Forderung nach mehrfachen Prädiktormessungen, um die Verallgemeinerbarkeit von Vorhersagevariablen abschätzen und ihre differenzielle Vorhersagegüte in Abhängigkeit vom Erhebungszeitpunkt überprüfen zu können. Um darüber hinaus zu untersuchen, ob die potenziell spezifischen Vorläuferfertigkeiten nur Varianz in den späteren mathematischen oder auch in den schriftsprachlichen Kompetenzen vorhersagen würden, wurden jeweils 252 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider am Ende des ersten und vierten Grundschuljahres neben den Mathematikleistungen auch die Rechtschreibleistungen der Kinder in Gruppentests erfasst. Stichprobe Die Studie begann im März 1999 (1. Prognosezeitpunkt, 1. PZP) mit 126 Vorschulkindern, die sechs Kindergärten in ländlichen Gebieten um Würzburg angehörten. Da bis Juli 1999 (2. Prognosezeitpunkt, 2. PZP) ein weiterer Kindergarten rekrutiert werden konnte, vergrößerte sich die Stichprobe auf 153 Kinder (70 Jungen und 83 Mädchen). 147 dieser Kinder wurden eingeschult und nahmen am Ende der ersten Klasse an den Schulleistungstests teil. Durch Klassenwiederholungen, Umschulungen in Diagnose-Förderklassen, Umzüge und teils krankheitsbzw. urlaubsbedingte Ausfälle der Kinder reduzierte sich die Stichprobe bis zum Ende der vierten Klasse auf 130 Kinder. Die Dropout-Rate betrug damit am Ende der Grundschulzeit 15 %. Das Durchschnittsalter der Kinder lag zu Beginn der Studie bei 6; 3 Jahren (5; 4 - 6; 11 Jahre). 5 % der Kinder hatten mindestens ein ausländisches Elternteil, zwei dieser Kinder sprachen zu Hause kein deutsch. Materialien und Versuchsdurchführung Als spezifisch mathematische Vorläuferfertigkeiten wurden aus dem dargestellten Entwicklungsmodell Basisfertigkeiten (Ebene I) sowie Invarianz- und Anzahlkonzepte (Ebene II) abgeleitet und unter dem Begriff Mengen-Zahlen-Kompetenzen zusammengefasst. Intelligenz, soziale Schicht, Gedächtniskapazität, Zugriffsgeschwindigkeit auf das Langzeitgedächtnis, visuell-räumliches Vorstellungsvermögen, Sprachverständnis und Konzentrationsfähigkeit wurden darüber hinaus als unspezifische Faktoren erhoben. Zur Erfassung der spezifischen und einiger unspezifischer Prädiktoren wurden Aufgaben entwickelt und in einer Testbatterie zusammengestellt (vgl. Krajewski, 2003). Potenziell relevante unspezifische kognitive Fähigkeiten im Vorschulalter. Zur Erhebung der nonverbalen Intelligenz kam die Kurzversion des Grundintelligenztests Skala 1 (CFT 1; Culture Fair Intelligence Test; Cattell, Weiß & Osterland, 1997) mit den Subtests „Klassifikationen“, „Ähnlichkeiten“ und „Matrizen“ zum Einsatz. Aus organisatorischen Gründen konnte dieser Test erst zu Beginn des ersten Schuljahres im Klassenverband erhoben werden. Die Geschwindigkeit, mit der Kinder visuell präsentierte Zahlen als Zahlwort aus dem Langzeitgedächtnis abrufen und benennen können (Zugriffsgeschwindigkeit auf das Langzeitgedächtnis), wurde durch zwei Aufgaben erfasst. In einer ersten Aufgabe, in der keine Kenntnis von arabischen Zahlen erforderlich war, sollten die Kinder so schnell wie möglich 18 Zahlen vorlesen, die als Würfelbild dargestellt waren (je dreimal die Würfelzahlen eins bis sechs) und die auf zwei Zeilen in zufälliger Reihenfolge präsentiert wurden. Anschließend waren die gleichen Zahlen in genau derselben Reihenfolge - nun aber als arabische Ziffern dargestellt - schnellstmöglich vorzulesen. Als Maß der phonologischen Gedächtniskapazität kam die Zahlenspanne vorwärts zum Einsatz. Hier hatten die Kinder einsilbige, einstellige Zahlen, die im Abstand von einer Sekunde vorgesprochen wurden, zu wiederholen. Zur Überprüfung des visuell-räumlichen Vorstellungsvermögens der Kinder kam zum einen eine Bauaufgabe zur Anwendung. Die Kinder sahen auf Fotos drei Bauten und sollten diese mit Hilfe der vor ihnen liegenden Holzbausteine nachstellen. Darüber hinaus sollten Spiegelbilder gelegt werden. Hierfür wurde zunächst am Beispiel eines Käfers verdeutlicht, was ein Spiegelbild ist, bevor aus sechs Figuren jeweils eine auszuwählen und neben eine der drei Testformen „genau verkehrt herum“ zu legen war, „so als ob sie in den Spiegel schaut“. Das Sprachverständnis für die räumlichen Begriffe „vor“, „zwischen“, „links“ und „rechts“ wurde mit Hilfe der Bauklötze aus der Bauaufgabe erhoben, indem die Kinder die Anweisung erhielten, einen weiteren Stein beispielsweise „zwischen die rote Brücke und die gelbe Rutsche“ zu stellen. Anhand des Frankfurter Konzentrationstests für Fünfjährige (FTF-K; Raats & Möhling, 1971) wurde die Konzentration bei kurzzeitigen Anforderungen gemessen. Die Kinder hatten innerhalb von 90 Sekunden so viele Birnen wie möglich aus den in Reihen angeordneten Äpfeln und Birnen herauszufinden und anzustreichen. Potenziell relevante, spezifisch mathematische Vorhersagemerkmale. Zur Erfassung numerischer Basisfertigkeiten interessierte, wie gut die Kinder die exakte Zahlenfolge vorwärts und rückwärts beherrschen und dabei nicht nur die gesamte Folge durchlaufen müssen, sondern auch bereits einzelne Glieder in der Folge identifizieren können. Sie hatten ab eins vorwärts zu zählen und je drei Nachfolgerzahlen im Zahlenraum bis 20 zu benennen (Zahlenfolge vorwärts) sowie ab fünf rückwärts zu zählen und drei Vorgängerzahlen zu bestimmen (Zahlenfolge rückwärts). Darüber hinaus wurde die Kenntnis der arabischen Zahlen erfasst. Zu vier verbal präsentierten Zahlen im Zahlenraum bis 20 waren die richtigen Zahlenkärtchen zu finden. Ferner sollten die Zahlen auf einem 10-Pfennig-, 50- Pfennig- und 1-Mark-Geldstück richtig benannt werden. Zur Erhebung von Mengen-Zahlen-Kompetenzen auf der zweiten Ebene (Invarianz-Anzahl- Konzepte) dienten Aufgaben zum Mengenvergleich und zur Seriation von Anzahlen. Beim Mengenvergleich waren zwei Aufgaben zur Invarianz zu lösen. Hier standen Kinder (Holzmännchen) in Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 253 einer Schlange, drängelten und schoben sich dabei zusammen. Da nicht nur interessierte, ob die Kinder ein Verständnis dafür besitzen, dass die räumliche Veränderung der Elemente nicht zur Vergrößerung oder Verkleinerung der Anzahl führt, sondern ob sie bei solchen Vergleichen auch auf die Idee kommen zu zählen bzw. eins zu eins zuzuordnen, waren zudem zwei Reihen mit unterschiedlichen Anzahlen (5 und 6 Kinder), aber gleicher Länge zu vergleichen. In der Aufgabe zur Seriation von Anzahlen sollte in eine Reihe von gleich großen Käfern ein Käfer eingeordnet werden, welcher in der Reihe fehlte. Dieser konnte nur aufgrund der Anzahl der auf seinem Rücken befindlichen, systematisch angeordneten Punkte gefunden und anschließend mit den anderen Käfern verglichen werden. Schicht als Markervariable für (nicht-kognitive) häusliche Umweltfaktoren. Die soziale Schicht konnte über Elternfragebögen, die Angaben über die Schulabschlüsse sowie die erlernten und momentan ausgeübten Berufe der Eltern einholten, erfasst werden. Die Bewertung der Berufe erfolgte anhand einer modifizierten Version der Prestigeskala von Wegener (1988). Für eine grobere, aber zuverlässigere Bewertung wurden in Anlehnung an die Münchner LOGIK-Studie (Weinert & Schneider, 1987) die Wertpunkte anschließend in eine sechsstufige Skala übertragen. Kriteriumsvariablen im Verlauf der Grundschulzeit. Zur Überprüfung der mathematischen Kompetenz kam am Ende des ersten und vierten Grundschuljahres (jeweils im Juli) der Deutsche Mathematiktest im Gruppentest zum Einsatz (DEMAT 1+, Krajewski, Küspert & Schneider, 2002; DE- MAT 4, Gölitz, Roick & Hasselhorn, in Druck). In Anlehnung an die Lehrpläne der deutschen Bundesländer prüfen die Verfahren Kompetenzen in der Arithmetik (z. B. Zahlenstrahlen, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), im Sachrechnen und in der Geometrie. Die Rechtschreibleistungen wurden jeweils gleichzeitig mit den Mathematiktests durch Verfahren erfasst, die den Grundwortschatz der jeweiligen Klassenstufe überprüften. Hierfür kamen der Weingartner Rechtschreibtest für die erste Klasse (WRT 1; Birkel, 1995) und der Diagnostische Rechtschreibtest für die vierte Klasse (DRT 4, Grund, Haug & Naumann; 1994) zur Anwendung. Ergebnisse Leistungen im Kindergarten Alle für den Kindergarten konstruierten Aufgaben wurden von mindestens der Hälfte der Kinder richtig gelöst, waren also relativ leicht. So waren beispielsweise zu beiden Prognosezeitpunkten durchschnittlich 2.5 von drei Nachfolgern und 2.1 von drei Vorgängern bekannt. Sechs Monate vor Schuleintritt (1. Prognosezeitpunkt, 1. PZP) zählten die Kinder durchschnittlich bis 20, zwei Monate vor Schuleintritt (2. Prognosezeitpunkt, 2. PZP) schon bis 28. In der Aufgabe zur Seriation ordneten zunächst 56 % der Kinder (1. PZP) den Käfer richtig ein, vier Monate später (2. PZP) gelang dies 69 % der Kinder. Auch die Lösungsschwierigkeiten der Mengenvergleichsaufgaben lagen mit mittleren 63 % (1. PZP) bzw. 67 % (2. PZP) in diesem Rahmen. Zum 1. Prognosezeitpunkt benötigten die Kinder 19.2 sec zum Vorlesen der Würfelbilder und 19.3 sec für die Zahlenbilder (je fünf Kindern waren die Würfelbilder bzw. Zahlenbilder nicht bekannt); zum 2. Prognosezeitpunkt gelang dies in 18.4 sec bzw. 19.3 sec (wobei noch je vier Kinder an den Würfelbildern bzw. Zahlenbildern scheiterten). Während sich nur mittlere Stabilitäten zwischen 1. und 2. Prognosezeitpunkt in den Aufgaben zu Invarianz- Anzahl-Konzepten (r = .55), zur Zahlenspanne vorwärts (r = .44), zur Vorstellung (r = .26) und zur Konzentration (r = .52; jeweils p < .01) zeigten, fanden sich hohe Stabilitäten für die numerischen Basisfertigkeiten (r = .82) und die Zugriffsgeschwindigkeit (r = .67; jeweils p < .01). Identifikation relevanter Vorläuferfertigkeiten Korrelative Vorbetrachtungen. Tabelle 1 gibt einen Überblick über die Zusammenhänge zwischen Prädiktor- und Kriteriumsvariablen. Die Mathematikleistungen in beiden Klassenstufen korrelierten für beide Prognosezeitpunkte signifikant höher mit dem Summenwert der mathematischen Vorläufer als mit den unspezifischen Prädiktoren Zahlenspanne, Vorstellung, Sprachverständnis und Konzentration (für alle Z > 1.7; p < .05). In der vierten Klasse lagen die Zusammenhänge der Mathematikleistungen mit Intelligenz und Zugriffsgeschwindigkeit in vergleichbarer Höhe wie die Korrelationen der Mathematikleistungen mit den mathematischen Vorläufern 254 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider (für alle Z < 1.6; p > .05). Auch die Zusammenhänge zwischen den Leistungen auf beiden mathematischen Vorläuferebenen (Basisfertigkeiten vs. Invarianz-Anzahl-Konzepte) mit den Mathematikleistungen unterschieden sich zu keinem Zeitpunkt signifikant voneinander (für alle Z < 1.6; p > .05). Obwohl die Korrelation der Mathematikleistungen mit den zum ersten Prognosezeitpunkt erhobenen Invarianz-Anzahl-Konzepten über die Grundschulzeit erhalten blieb (r = .43), nahm der Zusammenhang mit den Basisfertigkeiten von der ersten (r = .56) zur vierten Klasse (r = .35) deutlich ab (Z = 1.9; p < .05). In nachfolgenden Analysen wurden die Zusammenhänge der Prädiktoren, welche mit den Mathematikleistungen mindestens mit r = .30 korrelierten, genauer analysiert. Strukturgleichungsmodell. Hierfür wurden theoretisch gestützte Annahmen über das Zusammenwirken der Prädiktoren und ihren Einfluss auf die Mathematikleistungen in einem Strukturgleichungsmodell aufgestellt und mit Hilfe der vorliegenden Daten für die erste und vierte Klasse empirisch überprüft. Dieses Vorgehen hatte den Vorteil, dass auch Relationen zwischen den Prädiktoren (z. B. Intelligenz und Basisfertigkeiten) angemessen berücksichtigt und im Modell explizit spezifiziert werden konnten. Obwohl die Kenntnis der arabischen Zahlen eine numerische Basisfertigkeit darstellt, wurde sie im Modell aus folgenden Gründen nicht als Indikator der Basisfertigkeiten aufgenommen. Die Kompetenzebenen des oben beschriebenen theoretischen Entwicklungsmodells werden für ver- Mathematikleistungen Rechtschreiben Kindergarten 1. Klasse 4. Klasse 1. Klasse 4. Klasse spezifische Prädiktoren 1. PZP Summe Mathevorläufer .59** .44** .35** .18 n.s Basisfertigkeiten .56** .35** .34** .15 n.s. Invarianz und Anzahl .43** .43** .24** .17 n.s. 2. PZP Summe Mathevorläufer .62** .48** .38** .19* Basisfertigkeiten .57** .44** .40** .23* Invarianz und Anzahl .49** .36** .20* .04 n.s. unspezifische Prädiktoren 1. PZP Zugriffsgeschwindigkeit 1 .41** .33** .37** .35** Zahlenspanne .21* .22* .16 n.s. .18 n.s. Vorstellung .16 n.s. .14 n.s. .02 n.s. .02 n.s. Sprachverständnis .16 n.s. .22* .24* .29** Konzentration .12 n.s. .05 n.s. .16 n.s. .22* 2. PZP Zugriffsgeschwindigkeit 1 .44** .44** .39** .27** Zahlenspanne .25** .16 n.s. .23** .08 n.s. Vorstellung .27** .19* .06 n.s. -.09 n.s. Sprachverständnis .25** .08 n.s. .16 n.s. .10 n.s. Konzentration .15 n.s. .17* .11 n.s. .11 n.s. - Intelligenz (Anfang 1. Klasse) .46** .31** .32** .18* Schicht .20* .30** .09 n.s. .12 n.s. Tabelle 1: Korrelationen zwischen den Mathematikbzw. Rechtschreibleistungen in der 1. und 4. Klasse und den Leistungen sechs Monate vor Schuleintritt (1. Prognosezeitpunkt, 1. PZP) bzw. zwei Monate vor Schuleintritt (2. Prognosezeitpunkt, 2. PZP) 1 die Rohdaten wurden umgepolt, sodass eine positive Korrelation auch einen positiven Zusammenhang bedeutet; n.s. = nicht signifikant, * p < .05, ** p < .01 Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 255 bale und arabische Zahlen nicht zwingend gleichzeitig durchlaufen, sodass ein Kind mit den verbalen Zählzahlen schon Ebene II erreicht haben kann ohne irgendeine Ziffernzahl zu kennen (Ebene I). Eine klare Unterscheidung der Kompetenzebenen ist beim Einbezug der arabischen Zahlenkenntnis demnach kaum möglich. Da die in der vorliegenden Studie erhobenen Aufgaben zu höheren Kompetenzebenen zudem ausschließlich mit den verbalen Zahlen lösbar waren, wurde zur Operationalisierung des Konstrukts Basisfertigkeiten die arabische Zahlenkenntnis nicht herangezogen. Im Strukturmodell wurden neben den spezifischen Basisfertigkeiten und den Invarianz-Anzahl-Konzepten auch Intelligenz, Zugriffsgeschwindigkeit und soziale Schicht berücksichtigt und in ihren Beziehungen modelliert. Analog den Modellvorstellungen zur frühen Vorhersage von Schulleistungen in anderen Kompetenzbereichen wurden hierbei die allgemeinen, unspezifischen Prädiktoren vor die spezifischen Vorläuferfertigkeiten gesetzt (vgl. Schneider & Näslund, 1992; Ennemoser, 2003). So sollten Intelligenz und soziale Schicht sowohl in den spezifischen Prädiktoren als auch in den schulischen Mathematikleistungen Varianz erklären. Weiterhin wurde angenommen, dass die Intelligenz mit der sozialen Schicht und Faktorladung bei Vorhersage der Mathematikleistung in der Konstrukt Indikatoren 1. Klasse 4. Klasse Zugriffsgeschwindigkeit Würfelbilder lesen .90 .89 Zahlbilder lesen .94 .95 Intelligenz CFT Subtest 3 .36 .37 CFT Subtest 4 .62 .64 CFT Subtest 5 .78 .75 Schicht Vater .59 .69 Mutter .80 .68 numerische Basisfertigkeiten Zahlenfolge vorwärts .81 .84 Zahlenfolge rückwärts .73 .71 Invarianz und Anzahl Mengenvergleich .55 .58 Seriation .68 .64 schulische DEMAT ungerade Subtests .86 .81 Mathematikleistung DEMAT gerade Subtests .87 .71 Datenfit bei Vorhersage Anpassungsindex 1 1. Klasse 4. Klasse χ 2 .63.1 .65.8 df .53 .53 p .16 .11 CFI (comparative fit index) .998 .998 RMSEA (root mean square error of approximation) .035 .040 Tabelle 2: Faktorladungen der Messmodelle (für alle Indikatoren p < .01) und Anpassung des Strukturgleichungsmodells zur Vorhersage der Mathematikleistungen in der 1. Klasse (für n = 147) und 4. Klasse (für n = 130) aus den Leistungen im Kindergartentest zwei Monate vor Schuleintritt 1 Bei einer guten Datenpassung sollte der χ 2 -Wert im Verhältnis zu den Freiheitsgraden (df) möglichst klein (und das Signifikanzniveau p größer als .05) sein, der CFI (mit möglichen Werten zwischen 0 und 1) nahe 1 liegen und der RMSEA einen Wert von .05 nicht überschreiten (vgl. Backhaus et al., 2000; Hoyle, 1995). 256 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider der Zugriffsgeschwindigkeit korreliert. Die Zugriffsgeschwindigkeit wurde nur als Prädiktor der numerischen Basisfertigkeiten, nicht jedoch als Prädiktor der Invarianz-Anzahl-Konzepte modelliert, da diese höhere Kompetenz (Mengen-Zahlen-Kompetenz auf Ebene II) eher konzeptuelles Verständnis als die schnelle Verfügbarkeit von Fakten erfordert. Dem theoretischen Entwicklungsmodell entsprechend wurde von den Basisfertigkeiten (I) nur ein Pfad auf die Invarianz-Anzahl- Konzepte (II), nicht jedoch auf die Mathematikleistungen, die Kompetenzen der dritten Ebene widerspiegeln, spezifiziert, da nur ein indirekter Einfluss der Basisfertigkeiten über ihre Verknüpfung auf der zweiten Ebene angenommen wurde. Die zugehörigen zwei Messmodelle, welche die Faktorladungen der einzelnen Indikatoren auf den latenten Variablen wiedergeben, sind in Tabelle 2 dargestellt. Die Höhe der Faktorladungen war durchweg zufrieden stellend und bewegte sich zwischen λ = .36 und λ = .95, was dafür spricht, dass die Konstrukte durch die Indikatoren gut operationalisiert wurden. Eine besonders gute Operationalisierung zeigte sich für die Konstrukte der Zugriffsgeschwindigkeit und der numerischen Basisfertigkeiten sowie erwartungsgemäß für die Mathematikleistungen in beiden Klassen durch die jeweils hoch miteinander korrelierenden Testhälften des DEMAT. Auch die anderen Faktorladungen bewegten sich in einem durchaus zufrieden stellenden Rahmen und bildeten die Konstrukte gut ab. Abbildung 2 zeigt das Strukturmodell, die zugehörigen Indizes der Modellanpassung finden sich im unteren Abschnitt von Tabelle 2. Die Überprüfung der statistischen Voraussetzung der multivariaten Normalverteilung erbrachte für Mardias (1970) Koeffizienten des multivariaten Abbildung 2: Strukturgleichungsmodelle zur Vorhersage der Mathematikleistungen in der 1. Klasse (jeweils obere Werte) und in der 4. Klasse (jeweils fett gedruckte untere Werte) aus den zwei Monate vor Schuleintritt erhobenen Prädiktoren; Pfeile geben die gerichteten Pfade mit ihren zugehörigen Koeffizienten wieder (nicht signifikante Pfade gestrichelt bzw. kursiv) Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 257 Exzess’ eine Prüfgröße von 4.1 (Modell für 1. Klasse) bzw. von 2.7 (Modell für 4. Klasse). Ein Wert größer als drei kann, wie hier im Modell für die 1. Klasse, als Evidenz für gewisse Abweichungen von der Annahme multivariat normalverteilter Daten gewertet werden. Nach McDonald und Ho (2002) sind die Schätzwerte der hier angewandten Maximum- Likelihood-Methode (zumindest bei kleineren Abweichungen wie hier) in dem Sinne robust, dass allenfalls ein Einfluss auf das Signifikanznivieau (nicht die Größenordnung) der geschätzten Pfade zu erwarten ist. Daher ist im betreffenden Modell für die 1. Klasse bei der Interpretation der Signfikanzniveaus eine gewisse Zurückhaltung geboten. Die Intelligenz klärte 10 % Varianz in den Basisfertigkeiten auf (1. Klasse: β = .31 [4. Klasse: .31], p < .01). Mit zusätzlich 27% erklärter Varianz wurden die Basisfertigkeiten jedoch deutlich stärker durch die Zugriffsgeschwindigkeit vorhergesagt ( β = .52 [.52], p < .01). Der Pfad der Intelligenz auf die Invarianz-Anzahl-Konzepte verfehlte nur knapp das Signifikanzniveau ( β = .30 [.32], p = .06). Auch die soziale Schicht zeigte keine signifikanten Pfade auf die Vorläuferfertigkeiten. Knapp 40 % der Unterschiede in den Invarianz-Anzahl-Konzepten wurden durch die Basisfertigkeiten erklärt ( β = .62 [.61], p < .01). Jeweils etwa ein Viertel der Unterschiede in den ein bzw. vier Jahre später erhobenen mathematischen Schulleistungen kam durch Unterschiede in den vorschulischen Invarianz-Anzahl-Konzepten zustande ( β = .47, p < .01; [ β = .51, p < .05]). Weitere 4 % bzw. 7 % Varianz in den mathematischen Schulleistungen wurden durch die Zugriffsgeschwindigkeit vorhergesagt ( β =.19, p < .05 [ β = .27, p < .01]). Darüber hinaus wurde in der vierten Klasse der Pfad der sozialen Schicht auf die Mathematikleistungen signifikant und sagte beachtliche 18 % der Varianz der Viertklassleistungen vorher ( β =.43, p < .01). Tabelle 2 kann entnommen werden, dass die Modelle eine gute Anpassungsgüte an die Daten aufwiesen (z. B. 4. Klasse: Chi 2 [53] = 65.8, p = .11; CFI = .998; RMSEA = .040). Um die zunehmende Bedeutung der sozialen Schicht über die Grundschulzeit statistisch abzusichern, wurden verschachtelte Modelle (nested models) berechnet. Hierbei wird der im Ausgangsmodell jeweils frei geschätzte Regressionseffekt der sozialen Schicht auf die Mathematikleistungen auf Null gesetzt, d. h. es wird die Annahme gemacht, dass die soziale Schicht hier keinen signifikanten Effekt hat. Anschließend werden die beiden Modelle (Ausgangsmodell und modifiziertes Modell) mittels eines Chi-Quadrat-Tests gegeneinander getestet, d. h. es wird überprüft, ob das ursprüngliche Modell nach dieser zusätzlichen Restriktion nach wie vor akzeptiert wird oder aber verworfen werden muss. Die Nullsetzung des Pfades der sozialen Schicht auf die Mathematikleistung, d. h. die Annahme, dass die soziale Schicht keine bedeutsamen Effekte auf die Mathematikleistungen hat, führte nur im Modell der vierten Klasse zu einer signifikanten Modellverschlechterung (1. Klasse: Chi 2 [1] = 3.7, p > .05; 4. Klasse: Chi 2 [1] = 11.9, p < .01). Die soziale Schicht hatte demnach für die Mathematikleistungen in der ersten Klasse noch keine Bedeutung, zeigte demgegenüber jedoch einen bedeutsamen Einfluss auf die Mathematikleistungen in der vierten Klasse. Überprüfung der Spezifität der Prädiktoren Wie den beiden letzten Spalten von Tabelle 1 zu entnehmen, korrelierten zumindest in der ersten Klasse alle herausgestellten Prädiktoren auch mit den Rechtschreibleistungen der Kinder. Um die theoretische Annahme zu überprüfen, dass die numerischen Basisfertigkeiten und die Invarianz-Anzahl-Konzepte dennoch spezifische mathematische Vorläuferfertigkeiten darstellen, wurden mit den Prädiktoren schrittweise Regressionsanalysen zur Vorhersage der Rechtschreibleistungen berechnet. Die Intelligenz wurde mit der Einschlussmethode jeweils an erster Stelle in die Regressionsgleichung „gezwungen“ (Tabelle 3). 258 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider Weder in der ersten Klasse noch in der vierten Klasse gingen die numerischen Basisfertigkeiten und die Invarianz-Anzahl-Konzepte der Kinder sechs oder zwei Monate vor Schuleintritt als Prädiktoren der Rechtschreibleistungen in die Regressionsgleichung ein. Diese Prädiktoren bestätigten sich demnach als spezifische mathematische Vorläuferfertigkeiten. Nach der Intelligenz, die in der ersten Klasse 10 % und in der vierten Klasse noch 2 % der Rechtschreibleistungen aufklärte, wurde zu beiden Prognosezeitpunkten jeweils die Schnelligkeit des Zugriffs auf phonologische Fakten im Langzeitgedächtnis in die Regressionsgleichung aufgenommen und trug in beiden Klassen mit 4 % bis 10 % zusätzlich zur Varianzaufklärung in den Rechtschreibleistungen bei. Darüber hinaus wurden in einem Fall 3 % Varianz durch das Sprachverständnis für Lagebegriffe aufgeklärt. Diskussion Die hier beschriebene Langzeitstudie hatte zum Ziel, Vorläuferfertigkeiten zu identifizieren, die bereits im Vorschulalter Unterschiede in den Mathematikleistungen der Grundschule vorhersagen. Spezifisch-mathematische Faktoren sollten dabei von unspezifischen Faktoren, die sich ebenso auf die späteren Schriftsprachleistungen auswirken, abgegrenzt werden. Die im Kindergarten erhobenen mathematikspezifischen Aufgaben operationalisierten in Anlehnung an das eingangs beschriebene Entwicklungsmodell zwei unterschiedliche Ebenen der mathematischen Vorläuferkompetenzen (numerische Basisfertigkeiten [I] vs. Invarianz-Anzahl-Konzept [II]). Das Strukturgleichungsmodell bestätigte diese beiden Ebenen insofern, als die höheren Vorläuferkompetenzen (Ebene II) zu einem Großteil von den Basisfertigkeiten (Ebene I) vorhergesagt wurden. Die Aufgaben beider Ebenen wurden von der Mehrzahl der Kinder gelöst und machten deutlich, dass die Kinder bereits ein halbes Jahr vor Schuleintritt nicht nur über gute numerische Basisfertigkeiten wie das Zählen verfügten, sondern bereits auch die höheren Konzepte von Anzahl und Invarianz aufwiesen. Die Unterschiede in den mathematischen Vorläuferkompetenzen spiegelten sich in den Mathematikleistungen bis zum Ende der Grundschulzeit wider. Dabei war es unerheblich, ob man die Zusammenhänge der Mathematikleistungen mit den mathematischen Vorläuferfertigkeiten am Ende der Kindergartenzeit betrachtete oder die bereits ein halbes Jahr vor Schuleintritt vorhandenen Fähigkeiten heranzog. Die höheren Vorläuferkompetenzen klärten zudem im Strukturgleichungsmodell den Löwenanteil der Varianz in den Mathematikleistungen am Beginn wie auch Varianzaufklärung (R 2 ) in den Rechtschreibleistungen der 1. Klasse 4. Klasse 1. PZP Intelligenz .10 .02 Zugriffsgeschwindigkeit .07 .09 Sprachverständnis .03 Summe R 2 .17 .14 2. PZP Intelligenz .10 .03 Zugriffsgeschwindigkeit .10 .04 Summe R 2 .20 .07 Anm.: PZP = Prognosezeitpunkt Tabelle 3: Ergebnisse der Regressionsanalysen zur Erklärung von Unterschieden in den Rechtschreibleistungen der Grundschule durch Intelligenz (Einschlussmethode) und die vorschulischen Prädiktoren (schrittweise) Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter 259 am Ende der Grundschulzeit auf. Bezug nehmend auf Marx (1992) lässt sich damit auf eine gute Verallgemeinerbarkeit dieser Vorläufer schließen, denn ihre Bedeutung für die späteren Mathematikleistungen änderte sich weder in Abhängigkeit vom Prognosezeitpunkt noch vom Zeitpunkt der Kriteriumsmessung. Sowohl auf die mathematischen Vorläuferfertigkeiten als auch auf die schulischen Mathematikleistungen zeigten sich darüber hinaus Effekte der unspezifischen Faktoren. Die Schnelligkeit beim Zugriff auf Zahlworte im Langzeitgedächtnis sagte mehr als ein Viertel der Varianz in den numerischen Basisfertigkeiten vorher und hatte auch direkten Einfluss auf die Mathematikleistungen. Nachdem in bisherigen Studien vornehmlich der schnelle Abruf von automatisierten Rechenfakten in seiner Bedeutung für die Mathematikleistungen betrachtet wurde (Kaye, 1986; vgl. Grube, 2006), stellen die vorliegenden Daten also ergänzend den schnellen Abruf einfacher Zahlen als wichtigen Prädiktor für das Rechnen heraus. Dieser schnelle Zugriff auf das Langzeitgedächtnis wirkte sich ferner, wie dies auch Studien aus der Schriftsprachforschung zeigen (Schneider & Näslund, 1992), auf die späteren Rechtschreibleistungen aus. Daraus wird deutlich, dass es sich hier um eine Fertigkeit handelt, die trotz des mathematikspezifischen Materials auch für schriftsprachliche Leistungen determinierend ist und damit den unspezifischen kognitiven Prädiktoren zugerechnet werden kann. Das Übersetzen visueller Zeichen oder Symbole in ihre verbalen Entsprechungen ist somit nicht nur für die Verarbeitung der Schriftsprache, sondern ebenso für die Verarbeitung der „Zahlensprache“ relevant. Die Intelligenz stand als basale kognitive Fähigkeit hinter den mathematischen Vorläufern und wirkte sich über die numerischen Basisfertigkeiten auf die Invarianz-Anzahl-Konzepte und die mathematischen Schulleistungen aus. Obwohl sie in dieser Studie später als die anderen Prädiktoren erhoben wurde und damit zeitlich sogar näher am Kriterium lag, zeigte sie, ähnlich den Befunden der LOGIK-Studie (Stern, 2003) und der SCHOLASTIK-Studie (Weinert, Helmke & Schneider, 1990), jedoch nach Einbezug der Vorläuferkompetenzen keinen direkten Effekt auf die Schulleistungen. Die allgemeine intellektuelle Fähigkeit eines Kindes kam somit besonders im Kindergartenalter zum Tragen und beeinflusste bereits zu dieser Zeit die für die späteren Mathematikleistungen grundlegenden Kompetenzen (vgl. Stern, 1997a; Weißhaupt, Peucker & Wirtz, 2006, in diesem Band). Mit Beschulung der Kinder verlor jedoch der Einfluss der Intelligenz und die soziale Herkunft eines Kindes gewann immer stärker an Bedeutung. Dies ist ein Trend, der sich mit den Ergebnissen der PISA-Studie deckt, wonach die Mathematikleistungen deutscher Sekundarschüler nicht unerheblich mit dem sozioökonomischen Status des Elternhauses in Zusammenhang stehen (Ehmke et al., 2004). Es wird hier vermutet, dass sich mit Schuleintritt das elterliche Engagement für schulische Angelegenheiten entfaltet und sich dann als Umweltfaktor zunehmend auf die Schulleistungen auswirkt. Obwohl die soziale Herkunft im Laufe der Grundschulzeit als zusätzlicher Faktor an Bedeutung gewann, konnte sie in der vorliegenden Studie dennoch nicht die Unterschiede in den Mathematikleistungen wettmachen, die durch die bereits vor Schuleintritt vorhandenen spezifischen Konzepte über Mengenrelationen und Anzahlen bestanden hatten. Wegen der relativ geringen Stichprobengröße und der in einem Fall vorgefundenen Abweichung von der multivariaten Normalverteilung ist eine Replikation der Daten wünschenswert. Zusammenfassend lassen sich die allgemeine intellektuelle Fähigkeit eines Kindes und der schnelle Zugriff auf phonologische Fakten im Langzeitgedächtnis als allgemeine kognitive Determinanten festhalten, die neben den Mathematikauch die Rechtschreibleistungen beeinflussten. Für phonologische Gedächtniskapazität, visuell-räumliches Vorstellungs- 260 Kristin Krajewski, Wolfgang Schneider vermögen, Sprachverständnis und Konzentration ließen sich in der vorliegenden Studie nur geringe Zusammenhänge mit diesen Schulleistungen nachweisen. Demgegenüber sind numerische Basisfertigkeiten sowie die darauf aufbauenden Invarianz- und Anzahlkonzepte als bedeutende spezifische Vorläufer der Schulmathematik zu betrachten und konnten bis zum Ende der Grundschulzeit für den Großteil der Varianz in den mathematischen Schulleistungen verantwortlich gemacht werden. Da diese mathematischen Vorläuferfertigkeiten bereits ein halbes Jahr vor Schuleintritt für die späteren Mathematikleistungen prädiktiv waren, eröffnen sich hier Möglichkeiten zur vorschulischen Förderung mathematischen Verständnisses. Diese Förderung sollte sich nicht nur auf die Vermittlung von Basisfertigkeiten wie Zählfertigkeiten und Zahlenkenntnis sowie die Verknüpfung von Mengen und Zahlen zum Anzahlkonzept beschränken. Ein Schwerpunkt sollte vor allem darauf gelegt werden, den Kindern unter Rückgriff auf Mengen die hinter den Zahlen stehende Struktur bewusst zu machen. So sollten schon die ersten numerischen Erfahrungen von Kindern gezielt an abstrakt-symbolische Veranschaulichungsmittel geknüpft werden. Denn wie Hasemann und Stern (2002) herausstellen, haben Ansätze, die mathematische Zusammenhänge ausschließlich in alltagsnahen Handlungen vermitteln, keine förderliche Wirkung auf das mathematische Verständnis von Kindern. Stattdessen konnten die Autoren zeigen, dass schon im frühen Grundschulalter abstrakt-symbolische Aktivitäten zu bedeutend größeren Zuwächsen in den Mathematikleistungen führen, da sie ein grundlegendes Verständnis dafür fördern, dass Zahlen nicht nur zum Zählen, sondern auch zur Modellierung von Beziehungen zwischen Mengen genutzt werden können. Der Beweis, dass sich nun auch schon im Kindergarten mathematisches Verständnis trainieren lässt und sich zudem tatsächlich auf die späteren Mathematikleistungen in der Schule auswirkt, muss schließlich noch erbracht werden. So ist zukünftig nicht nur aufzuzeigen, dass die hier identifizierten mathematischen Vorläuferfertigkeiten im Kindergarten trainierbar sind, sondern es ist längsschnittlich vor allem nachzuweisen, dass sich ein solches Training auch in besseren mathematischen Schulleistungen niederschlägt. Erste Schritte auf diesem Weg sind in einer derzeit laufenden Nachfolgestudie bereits unternommen worden. Literatur Backhaus, K., Erichson, B., Plinke, W. & Weiber, R. (2000). Multivariate Analysemethoden: Eine anwendungsorientierte Einführung. Berlin: Springer. Birkel, P. (1995). Weingartner Grundwortschatz-Rechtschreib-Test für erste und zweite Klassen (WRT 1 +). Göttingen: Hogrefe. Birrell, H. V., Phillips, C. J. & Stott, D. H. (1985). Learning style and school attainment in young children: A follow-up study. School Psychology International, 6, 207 - 218. Cattell, R. B., Weiß, R. H. & Osterland, J. (1997). Grundintelligenztest Skala 1 (CFT 1) (5. Auflage). Braunschweig: Westermann. Daneman, M. 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