On Trail with Arithmetic Disorder - a Reanalysis of Mathematical Achievement of all 8th Graders in Rhineland-Palatinate Summary: The purpose of these reanalyses of the MARKUS-study (Helmke & Jäger, 2002) is to explore frequencies, appearance and performance of children with dyscalculia in higher school classes. Based on data of all 8th graders in Rhineland-Palatinate, Germany, the group of the low performing students (dyscalculia) was defined by the following criteria: Performance in the curriculum-based mathematical test below a percent range of 3 % as well as at least satisfactory grades (grade 3 - „satisfactory“ - or better according to German grading system) in other subjects (German and first foreign language). The group of students with such results (1% of population) has a proportion of girls which is above average and consists of students of all types of school. Students with dyscalculia performed poorly in all tasks of the TIMSS-orientated test, independently of the complexity or type of task. Furthermore, students with dyscalculia seem to make more, but not different mistakes. These results indicate misconceptions that are developed systematically by the students and which will be discussed here. Keywords: Developmental dyscalculia, math problems, dyscalculia in higher school classes, error analysis Zusammenfassung: Anhand einer Reanalyse der Daten der MARKUS-Studie (Mathematik-Gesamterhebung Rheinland-Pfalz: Kompetenzen, Unterrichtsmerkmale, Schulkontext; Helmke & Jäger, 2002) werden Aussagen über Häufigkeiten, Erscheinungsformen und Ausprägungen von Rechenproblemen in der Sekundarstufe gewonnen. Für die untersuchte Stichprobe wurden zunächst die 3 % der Schülerinnen und Schüler aus der Gesamtpopulation der Achtklässler aller Bildungsgänge ausgewählt, die im curriculum-orientierten Mathematiktest die niedrigsten Leistungen zeigten. Aus dieser Gruppe wurden wiederum diejenigen ausgewählt, die sowohl im Fach Deutsch als auch in der ersten Fremdsprache mindestens die Note drei aufzuweisen hatten. Die so definierte Stichprobe (1% der Gesamtpopulation) weist überproportional viele Mädchen auf und setzt sich aus Schülerinnen und Schülern aller Bildungsgänge zusammen. Die Auswertung der Lösungshäufigkeiten des an TIMSS angelehnten Testteils in dieser Stichprobe lässt darauf schließen, dass rechenschwache Achtklässler bei allen Aufgaben Wissenslücken haben, unabhängig von deren Typ und Schwierigkeitsgrad. Zudem machen rechenschwache Schülerinnen und Schüler zwar mehr, aber gegenüber den nicht-rechenschwachen Schülerinnen und Schülern kaum andere Fehler. Diese Ergebnisse deuten darauf hin, dass diese systematische Fehlkonzepte entwickelt haben. Deren Interpretierbarkeit wird diskutiert. Schlüsselbegriffe: Rechenschwächen, Mathematikprobleme, Rechenschwäche in der Sekundarstufe, Fehleranalyse Empirische Arbeit Der Rechenschwäche auf der Spur - eine Re-Analyse von Mathematik-Leistungsdaten eines kompletten Schülerjahrgangs der achten Klassenstufe in Rheinland-Pfalz Lars Balzer Annemarie Fritz Schweizerisches Institut für Berufspädagogik/ Universität Duisburg-Essen Eidgenössisches Hochschulinstitut für Berufsbildung, Zollikofen Gabi Ricken Reinhold S. Jäger Universität Erfurt Zentrum für empirische pädagogische Forschung, Universität Koblenz-Landau Psychologie in Erziehung und Unterricht, 2007, 54, 177 - 190 © Ernst Reinhardt Verlag München Basel 178 Lars Balzer et al. Ausgangslage Aktuelle Ergebnisse internationaler Vergleichsstudien zur Leistungsmessung von Schülerinnen und Schülern haben das Interesse an der empirischen Bildungsforschung gestärkt und unter anderem Fragen nach mathematisch-naturwissenschaftlichen Inhalten vermehrt in den Blickpunkt gerückt. Bislang eher in den Fachdidaktiken verankerte Inhalte sind damit Gegenstand pädagogisch-psychologischer Forschung geworden. Auch bei der Beschäftigung mit Lernschwierigkeiten lässt sich ein Themenwechsel feststellen. Nach einer jahrzehntelangen fast ausschließlichen Betrachtung des Schriftspracherwerbs beschäftigt man sich aktuell verstärkt mit dem Rechnen und dem Erwerb mathematischer Kompetenzen. Dabei beschränkt sich die Analyse der Lernschwierigkeiten auf das Grundschulalter bzw. auf frühe Entwicklungsprozesse im Vorschul- und Grundschulalter (Fritz, Ricken & Schmidt, 2003; Krajewski, 2003, 2005; Fritz & Ricken, 2005; Lorenz, 2005). Hinsichtlich des Verlaufs der Entwicklungsstörung fehlen bislang kontrollierte prospektive Längsschnittstudien. Daten zu den erheblich besser untersuchten Entwicklungsstörungen des Lesens und Schreibens zeigen hierbei eine lange Persistenz und eine negative Auswirkung auf den Schulerfolg (von Suchodoletz, 2004). Obwohl dies auch für rechenschwache Kinder zu vermuten ist, existieren fast keine Erkenntnisse über die Entwicklung der Rechenprobleme in der Sekundarstufe. Auch in den empirischen Bildungsstudien (TIMSS/ II: Baumert et al., 1997; TIMSS/ III: Baumert, Bos & Lehmann, 2000 a, b; PISA 2000: Deutsches PISA-Konsortium, 2001, 2002, 2003; PISA 2003: Deutsches PISA-Konsortium, 2004, 2005; LAU: Lehmann, Gänsefuß & Peek, 1999; Lehmann, Peek & Gänsefuß, 1997), in denen Leistungen in der Sekundarstufe I untersucht wurden, spielte die Analyse der schwachen Rechenleistungen eine sehr untergeordnete Rolle. Im vorliegenden Beitrag wird dieser Problemstellung nachgegangen. Die von Helmke und Jäger (2002) publizierten Daten der MARKUS- Studie 1 , in der die mathematischen Leistungen aller Achtklässler der allgemeinbildenden Schulen in Rheinland-Pfalz erhoben wurden, stellen die Basis dar, um Leistungen rechenschwacher Schülerinnen und Schüler bei einer größeren Stichprobe und vor dem Hintergrund verschiedener Bildungsgänge zu analysieren. Bevor die Kriterien zur Bestimmung der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler in der MARKUS-Studie begründet und die resultierende Stichprobe untersucht wird, wird zunächst das Konstrukt „Rechenschwäche“ bzw. „umschriebene Entwicklungsstörung des Rechnens“ erläutert. Zur Definition der Rechenschwäche und Entstehungsbedingungen Umschriebene Störungen schulischer Fertigkeiten im Rechnen liegen dann vor, wenn die mathematischen Leistungen eines Kindes deutlich hinter den Leistungen der Altersgruppe zurückliegen, wobei die Probleme von Beginn der Schulzeit an bestehen und dem Kind das Verständnis und den Zugang zum Erwerb dieser Kulturtechnik erschweren (ICD 10: Dilling, Mombour & Schmidt, 1993; DSM IV: American Psychiatric Association, 1994). Die mathematischen Fähigkeiten der Kinder werden in diesem Sinne mit einem Rechentest im Vergleich zur Altersgruppe bestimmt. Nach ICD-10 ist für die Diagnose „umschriebene Rechenstörung“ ein Abstand von 1 bis 2 Standardabweichungen bei mindestens durchschnittlicher Intelligenz erforderlich. Das Diskrepanzkriterium zwischen schulischen Leistungen und Intelligenztestwerten problematisierend (vgl. hierzu die Diskussion zur Bestimmung einer LRS), schlägt Klauer (1992) als alternatives Kriterium den Vergleich mit den anderen Schulleistungen des Kindes vor. Beide Diskrepanzkriterien werfen allerdings Probleme auf. Zum einen sind Intelligenzleistungen - fast immer - mit mathematischen Leistungen konfundiert. So erfassen selbst nonverbale Aufgaben wie etwa im CFT 20 (z. B. Analogien, Reihen fortsetzen) mathematisch relevante Aspekte. Der Rechenschwäche auf der Spur 179 Wichtiger noch ist der Befund, dass mit steigender Klassenstufe zur Vorhersage der mathematischen Leistungsgüte die fachspezifischen Vorkenntnisse bedeutsamer sind als die Intelligenztestwerte (Weinert & Stefanek, 1997). Das heißt, dass der Zusammenhang zwischen Schulleistungen und Vorwissen enger wird, während der Zusammenhang zwischen Schulleistungen und Intelligenz an Bedeutung verliert. Somit ist die Rechenschwäche im Bezugssystem des spezifischen Vorwissens zu betrachten. Zum anderen ist auch der Bezug zu den anderen Schulleistungen problematisch, da Noten als Maß für die Leistungsgüte in Mathematik keine valide Aussage liefern. Zu unterschiedlich sind die Bezugssysteme für die Vergabe von Noten zwischen verschiedenen Klassen und Schultypen. Und zu unterschiedlich sind die Kompetenzen, die durch gleiche Noten operationalisiert werden. Aktuelle curriculare Schulleistungstests, die hier einsetzbar wären, fehlen für die Sekundarstufe bzw. befinden sich erst in der Entwicklungsphase (DEMAT 5 +, DEMAT 6 +, vgl. Marx & Krocker, 2005). Letztlich sind unter Verwendung der Diskrepanzmaße nur Aussagen über die aktuelle Leistungsgüte des Kindes in Mathematik möglich, wobei die Bestimmung der Problematik ausschließlich am Leistungsstand des Kindes orientiert ist. Risiko- und Resilienzfaktoren, die moderierend auf die Entwicklung des Problems einwirken, sind damit nicht berücksichtigt. Es wird jedoch in vielen Ansätzen (Fritz, Ricken & Schlottke, 2005) davon ausgegangen, dass sich Rechenstörungen durch das Zusammenwirken mehrerer Faktoren entwickeln. Dazu gehören die motivationalen, emotionalen und kognitiven Voraussetzungen des Kindes, familiäre Interaktionen mit den wechselseitigen Leistungserwartungen, Reaktionen der Eltern, die methodisch-didaktischen Bedingungen des Unterrichts, sowie der Lehrer-Schüler- und Schüler-Schüler-Interaktionen. Gleichwohl sind vor dem Hintergrund neuropsychologischer, kognitions- und entwicklungspsychologischer Störungskonzeptionen die fertigkeitsspezifischen Probleme am besten untersucht (Fritz, Ricken & Schmidt, 2003; Fritz, Ricken & Schlottke, 2005). So wird angenommen, dass rechenschwache Kinder die spezifischen Voraussetzungen nicht ausreichend entwickeln, die bereits im Vorschulalter entstehen. Dazu gehören das Zahlwissen (Zahlwortkenntnis), das Wissen über Mächtigkeiten von Mengen (Krajewski, 2003) und die Verknüpfung beider Wissensbereiche miteinander (Fritz & Ricken, 2005). Diese fehlenden Voraussetzungen behindern die weitere Entwicklung eines Verständnisses, das zur Erkennung der Gesetzmäßigkeiten im Zahlenraum und der Beziehungen zwischen den Zahlen führt. Defizite in basalen numerischen Fertigkeiten sind bei Kindern der 2., 3. und selbst 4. Klassen nachweisbar (Gaupp, 2003; Krajewski, 2003; Grube, 2004). Die Defizite in frühen numerischen Kompetenzen beeinflussen die Strategiewahl bei der Lösung von Aufgaben. So entwickeln Kinder mit höheren numerischen Kompetenzen effektivere Strategien als Kinder mit geringen mathematischen Kompetenzen. Jordan, Hanich und Kaplan (2003) fassten die Befunde so zusammen, dass rechenschwache Kinder Strategien jüngerer Kinder (insbesondere Zählstrategien) anwenden, dabei mehr Fehler machen und Schwierigkeiten im Abruf von Rechenfakten und beim Lösen komplexer Sachaufgaben zeigen. In einer Längsschnittstudie verfolgte Ostad (1997) die Entwicklung der Strategien von Kindern im Umgang mit Additions- und Subtraktionsaufgaben. Über 2 Jahre hinweg zeigten die schwächsten Kinder der Klassen 1 bis 7 keine Entwicklung in der Nutzung der Strategien. 97 % der Kinder setzten auch in der 7. Klasse noch Zählstrategien ein, anstatt die dann bereits unterrichteten Rechenregeln anzuwenden. Fragestellung Empirische Grundlage dieses Artikels bildet die MARKUS-Studie (Helmke & Jäger, 2002). Sie ist eine in das Schulqualitätsmanagement des Landes Rheinland-Pfalz eingebettete Evaluationsstudie und basiert auf einer Erhebung der Mathematikleistungen, der Erfassung von un- 180 Lars Balzer et al. terrichts- und lernbezogenen Merkmalen sowie schulischer und außerschulischer Kontextbedingungen aller Schülerinnen und Schüler in Rheinland-Pfalz, die sich zum Erhebungszeitpunkt (31. Mai 2000) in allgemeinbildenden Schulen (außer Sonderschulen) der 8. Klassenstufe befanden. Somit liegen Leistungsdaten einer gesamten Schülerpopulation des 8. Schuljahres vor. Durch eine Reanalyse des Datensatzes der MARKUS-Studie wird nun der Versuch unternommen, Aufschluss über Personenmerkmale und die Leistungsfähigkeit rechenschwacher Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe zu erhalten. Folgende Fragestellungen sind dabei von Bedeutung: • Wie sieht eine Stichprobe rechenschwacher Schülerinnen und Schüler der 8. Klassenstufe aus? • Unterscheiden sich die Leistungen der rechenschwachen von den Leistungen der nicht-rechenschwachen Schülerinnen und Schüler hinsichtlich der Häufigkeit und Qualität der Lösungen bzw. Fehler? Da die MARKUS-Studie primär nicht diese Fragestellungen beantworten wollte und die Daten hierfür reanalysiert werden, sind den Auswertungen und resultierenden Aussagen Grenzen gesetzt. Die vorliegende Studie generiert auf der Grundlage einer sehr großen, aus einem Populationsdatensatz generierten Stichprobe gleichwohl Hypothesen und Anregungen für zukünftige Forschung, um diesen ersten Ergebnissen in einem noch nicht stark beforschten Feld weitere Analysen - am besten in Projekten mit speziell auf die Fragestellung abgestimmten Designs - folgen zu lassen. Methodik Population Die Population umfasst 37.520 Schülerinnen und Schüler, die sich auf vier Bildungsgänge verteilen: Hauptschule Grundkurs - HS G (N = 10.144), Hauptschule Aufbaukurs - HS A (N = 4952), Realschule - RS (N = 11.355) und Gymnasium - GY (N = 11.069). Instrumente Die Reanalyse erfolgte auf der Basis der folgenden Instrumente der MARKUS-Studie: a) Ein aus 15 Aufgaben der TIMSS II-Untersuchung bestehender Mathematiktest (MARKUS- T), der von allen teilnehmenden Schülerinnen und Schülern bearbeitet wurde. Jeder Schüler/ jede Schülerin erreicht dabei einen auf der Rasch- Skalierung basierenden persönlichen Fähigkeitswert als Testwert. Erfasst werden die Bereiche „Algebra“, „Darstellung und Analyse von Daten“, „Zahlenverständnis“, „Geometrie“, „Messen und Maßeinheiten“ sowie „Proportionalität“. 14 der 15 Aufgaben sind geschlossen formuliert, d. h. es wurden verschiedene Lösungsvarianten (Distraktoren) vorgegeben, aus denen der Schüler/ die Schülerin auszuwählen hatte. Die geschlossen formulierten Aufgaben werden an dieser Stelle für die Detailanalyse verwendet. Eine Darstellung aller geschlossen formulierten Aufgaben von MARKUS-T befindet sich im Anhang. b) Ein neu entwickelter curriculumvalider, bildungsgangspezifischer Mathematiktest (MAR- KUS-C), der aufgrund der Raschskalierung trotz der Bildungsgangspezifität die Berechnung eines für alle Schülerinnen und Schüler vergleichbaren Fähigkeitswertes als Testwert ermöglicht. c) Ein Schülerfragebogen, der soziodemografische Angaben, Einschätzungen des Unterrichts und seiner Qualität, Angaben zu den Eltern und der Familienumwelt, zu individuellen Bedingungen der Schulleistung, lernbezogene Zeitparameter sowie die Beurteilung der Untersuchung zum Thema hatte. Kriterien zur Bestimmung der Stichprobe rechenschwacher Schülerinnen und Schüler Ausgehend von einer Prävalenzrate für Rechenschwäche von 3 - 6 % (Fritz, Ricken & Schlottke, 2005) wurden zunächst die 3 % schwächsten Schülerinnen und Schüler im Test MARKUS-C aus der Gesamtpopulation ausgewählt. Für die weitere Definition der Rechenschwäche nach ICD 10 standen aufgrund der Anlage der MARKUS-Studie nicht alle Daten zur Verfügung. So fehlten einerseits Angaben zum bisherigen Entwicklungsverlauf der Problematik und andererseits zum Verhältnis mathematischer Leistungen zu In- Der Rechenschwäche auf der Spur 181 telligenzwerten. Deshalb wurde das Diskrepanzmaß nach Klauer (1994) angewendet. Orientiert an diesem Kriterium wurden von den 3 % Schwächsten diejenigen ausgewählt, die im Fach Deutsch und der ersten Fremdsprache mindestens die Note 3 (hier: Halbjahresnote vor der Testung) erreicht hatten. Das gewählte Verfahren ist nicht unproblematisch, da sich unterschiedliche Bewertungskulturen auf die Stichprobenziehung auswirken. Zwar sollten neben der Erfüllung der Diskrepanz die guten Leistungen im Fach Deutsch zugleich auch ein mindestens durchschnittliches Textverstehen bei den Textaufgaben sicherstellen. Aber es ist nicht kontrollierbar, ob durch das Kriterium der guten Deutschnote der Mädchenanteil der Stichprobe künstlich erhöht wurde (da Mädchen in Deutsch tendenziell besser sind als Jungen). Auch könnten aufgrund strengerer Notenmaßstäbe Schülerinnen und Schüler aus der Stichprobe herausfallen (z. B. an Gymnasien) und dafür andere aus Klassen enthalten sein, die eher milde bewertet werden. Fehlklassifikationen können bei diesem Vorgehen also nicht verhindert werden. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache wird nicht der Anspruch erhoben, in der Stichprobe die Schülerinnen und Schüler mit einer Rechenschwäche absolut valide bestimmen zu können. Durch das strenge Auswahlkriterium von 3 % wurde jedoch eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern bestimmt, die extrem geringe Leistungen im Test erbrachte. Dementsprechend wird daher im Folgenden von rechenschwachen Schülerinnen und Schülern gesprochen, das heißt von solchen, deren Rechenleistungen im Vergleich zur Gesamtpopulation aktuell extrem gering waren. Ergebnisse Beschreibung der Stichprobe rechenschwacher Schülerinnen und Schüler Ein erster Blick auf die Gruppe rechenschwacher Schülerinnen und Schüler zeigt, dass die Mehrzahl in den Bildungsgang HS-G gehörten, dass sich aber darüber hinaus eine kleine Anzahl von Schülerinnen und Schülern auch in allen anderen Bildungsgängen identifizieren ließ (siehe Tabelle 1). Zudem lag eine erhöhte Häufigkeit der Problematik bei Mädchen vor, die weit über die in der Literatur berichtete hinausgeht (vgl. Klauer, 1992; Warnke & Küspert, 2001; Esser & Wyschkon, 2002) und die auch nicht durch möglicherweise bessere Deutschleistungen bei Mädchen alleine erklärbar ist. Die vorliegende Stichprobe bestand aus 267 Mädchen und 108 Jungen (6 ohne Geschlechtsangabe). Das Verhältnis von knapp 3 : 1 traf in ähnlicher Weise für alle Bildungsgänge zu (siehe Tabelle 1). Als wenig einheitlich erwiesen sich Angaben der Schülerinnen und Schüler zu ihren Mathematiknoten, zum Notenpotenzial, Selbstkon- Geschlecht Gesamt Mädchen Jungen Bildungsgang Hauptschule Anzahl 176 72 248 Grundkurs % 71.0 % 29.0 % 100 % Hauptschule Anzahl 51 25 76 Aufbaukurs % 67.1 % 32.9 % 100 % Realschule Anzahl 34 9 43 % 79.1 % 20.9 % 100 % Gymnasium Anzahl 6 2 8 % 75.0 % 25.0 % 100 % Gesamt Anzahl 267 108 375 % 71.2 % 28.8 % 100 % ohne Angabe 6 Tabelle 1: Zusammensetzung der Stichprobe rechenschwacher Schülerinnen und Schüler 182 Lars Balzer et al. zept, motivationalen Einstellungen, Arbeitsverhalten etc. Nicht alle rechenschwachen Schülerinnen und Schüler erzielten schlechte Noten oder waren sich einer Problematik im Fach Mathematik bewusst. Nur 57 % der Schüler hatten eine Halbjahresnote (als letzte Note vor der Testung) in Mathematik im Notenbereich von 4 - 6. Ähnlich uneindeutig wie der Notenspiegel waren auch die Attribuierungen der Schülerinnen und Schüler in Bezug auf ihr Selbstkonzept eigener Fähigkeiten in Mathematik. So wiesen die Einschätzungen tendenziell eher auf ein geringes Selbstkonzept eigener Leistungsfähigkeit hin: Immerhin gaben 63.2 % an, dass ihnen Mathematik nicht liege und 49.6 % hielten den Mathematikunterricht für mindestens etwas zu schwierig. Je nach schulischer Anforderung und individueller Leistungsbereitschaft werden Probleme übersehen. Nur 11.4 % der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler erhielten Nachhilfe in Mathematik. Relativ hoch war der Anteil der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler, die bereits eine Klasse wiederholt hatten. Mit 24.4 % lag er um einige Prozente höher als bei nicht-rechenschwachen Schülerinnen und Schülern (19.2 %). Vergleich der Leistungen rechenschwacher und nicht-rechenschwacher Schülerinnen und Schüler Die Bestimmung der Rechenschwäche über MARKUS-C ergab, wie weiter oben beschrieben, eine Gruppe mit 381 Personen. Um beim Vergleich unterschiedlich guter Rechner nicht 381 gegen beinahe 40.000 Personen testen zu müssen, wurden zunächst aus der Gruppe der nicht-rechenschwachen zwei Zufallsstichproben von je 500 Schülerinnen und Schülern gezogen. Die hier gezogenen Zufallsstichproben spiegelten dabei das Geschlechterverhältnis und die Bildungsgangzugehörigkeit der Population mit einer Abweichung von maximal 1 % wider. Alle folgenden Vergleiche beziehen sich auf den Vergleich der beiden Zufallsstichproben mit der Gruppe der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler. Zu diesem Zweck wurden im ersten Schritt die geschlossen formulierten Aufgaben von MARKUS-T auf Aufgabenebene analysiert. Die Lösungshäufigkeiten für alle Aufgaben in Prozent sind in Tabelle 2 dargestellt. Aus Tabelle 2 ist zu ersehen, dass die schwachen Rechner in allen Aufgaben statistisch signifikant (Chi 2 -Test; je p < .05, zumeist p < .001) und Richtige Lösungen in % Aufgaben- NS 1 S p ωω 2 nummer NS 2 (einseitig) A 78.2 45.7 .00 .106 77.0 .00 .098 B 66.2 32.8 .00 .103 62.4 .00 .081 C 38.0 29.9 .01 .006 41.2 .00 .012 D 89.4 71.9 .00 .048 88.4 .00 .042 E 60.2 30.7 .00 .081 58.0 .00 .070 F 90.2 61.2 .00 .112 85.2 .00 .072 G 60.8 26.8 .00 .107 63.6 .00 .124 H 38.4 8.4 .00 .109 35.0 .00 .091 I 73.6 49.1 .00 .060 76.0 .00 .074 J 56.2 30.2 .00 .064 54.8 .00 .058 K 47.8 27.3 .00 .041 43.2 .00 .025 L 44.0 28.9 .00 .023 41.6 .00 .016 M 29.4 14.2 .00 .031 32.0 .00 .041 N 33.6 24.9 .00 .008 32.8 .01 .006 Tabelle 2: Lösungshäufigkeiten aller Aufgaben von MARKUS-T Anmerkungen: NS 1 = Gruppe 1 - nichtrechenschwache; NS 2 = Gruppe 2 - nichtrechenschwache; S = rechenschwache Schülerinnen und Schüler Der Rechenschwäche auf der Spur 183 auch praktisch bedeutsam 2 unter dem Niveau der nichtschwachen Rechner lagen. Zudem erbrachten sie im Gesamtwert von MARKUS-T geringere Leistungen (t-Test für unabhängige Stichproben; T = 17.208, df = 874, p < .001, ω 2 = .251 bzw. T = 17.235, df = 862, p < .001, ω 2 = .252). Allerdings zeigten sich auch für die nichtrechenschwachen Schülerinnen und Schüler Unterschiede in den Schwierigkeiten der Aufgaben. So wurden einige Aufgaben nur von höchstens ca. 40 % der Schülerinnen und Schüler gelöst. Im Detail waren dies ein Teil der Algebra-Aufgaben (Aufgabe C, H) und ein Teil der Aufgaben, die das Verstehen von Proportionalität (M, N) erforderten. Über die globale Analyse der Lösungshäufigkeiten hinaus wurden im zweiten Schritt Fehlermuster von schwachen (S) und nicht-schwachen Rechnern (NS1 und NS2) analysiert. Dies erfolgte über eine differenzierte Betrachtung der ausgewählten Distraktoren unter Ausschluss der richtigen Lösungen. D. h., in den nachfolgenden Darstellungen sind ausschließlich die gemachten Fehler enthalten (siehe Tabelle 3). Aufgaben- Falschlösung Falschlösung Falschlösung Falschlösung nummer Distraktor A Distraktor B Distraktor C Distraktor D NS 1 S NS 1 S NS 1 S NS 1 S p ωω 2 NS 2 NS 2 NS 2 NS 2 A 55.3 40.8 - - 28.2 40.2 16.5 19.0 .05 45.0 - 39.9 26.1 .11 B 20.4 23.9 - - 70.4 68.8 9.3 7.3 .59 22.7 - 67.4 9.9 .62 C 69.7 47.6 13.7 28.6 - - 16.6 23.8 .00 .048 64.9 16.4 - 18.7 .00 .028 D 45.8 38.5 - - 50.0 39.6 4.2 22.0 .02 .040 26.9 - 63.5 9.6 .02 .042 E 38.5 29.6 16.8 22.2 - - 44.7 48.1 .13 33.5 16.0 - 50.5 .26 F 17.9 17.6 - - 56.4 47.2 25.6 35.2 .51 24.1 - 46.3 29.6 .56 G 13.2 13.3 54.1 53.6 10.7 15.9 22.0 17.2 .39 16.7 49.4 14.1 19.9 .66 H - - 70.7 39.6 5.1 9.1 24.1 51.4 .00 .090 - 68.8 6.9 24.3 .00 .083 I - - 37.7 33.7 52.6 49.7 9.6 16.6 .25 - 28.4 55.0 16.5 .62 J 32.8 37.3 41.5 36.8 25.7 25.9 - - .58 39.4 36.4 24.2 - .89 K 32.6 35.5 48.6 41.2 - - 18.8 23.2 .26 37.1 45.0 - 17.9 .35 L 11.2 17.5 - - 10.4 13.7 78.3 68.8 .05 14.6 - 7.7 77.8 .04 .009 M 11.3 19.9 13.6 27.2 75.2 52.9 - - .00 .050 12.0 15.8 72.3 - .00 .036 N 12.1 14.9 27.1 27.1 34.4 29.3 26.3 28.7 .63 12.0 26.0 38.0 24.0 .26 Tabelle 3: Fehlermuster aller Aufgaben bei rechenschwachen (S) und nichtrechenschwachen Schülerinnen und Schülern (NS 1 und NS 2 ) 184 Lars Balzer et al. Die Verteilungen der Falschlösungen sprechen gegen ein Rateverhalten der Schülerinnen und Schüler und für deutliche Bevorzugungen von Distraktoren. Bemerkenswert ist die Parallelität der Bevorzugungen zwischen schwachen und nicht-schwachen Rechnern. In den Aufgaben A, B, E, F, G, I, J, K und N unterschieden sich die Gruppen nicht (Chi 2 , p = n.s.), in der Aufgabe L unterschied sich eine der Zufallsstichproben von den Rechenschwachen, aber nur mit einer geringen Effektstärke. Die jeweiligen Fehler- Distraktoren wurden also in vergleichbarer Häufigkeit gewählt. Bei vier bzw. fünf Aufgaben unterschieden sich die Häufigkeitsverteilungen der Distraktorenauswahl. Dies betraf sowohl drei der schwierigsten Aufgaben (C, H, M), bei denen auch die Nicht-rechenschwachen Lösungshäufigkeiten unter ca. 40 % gezeigt hatten, eine ebenfalls sehr schwere (L) sowie eine sehr leichte Aufgabe (D). Trotz signifikant unterschiedlicher Verteilungen bei der Distraktorenwahl wichen die Gruppen bei der Bevorzugung eines Fehler-Distraktors mit einer Ausnahme aber nicht gravierend voneinander ab, d. h. alle Gruppen bevorzugten ähnliche Fehler. Die Ausnahme bildete Aufgabe H, bei der unterschiedliche Brüche auf ihre Größe hin zu vergleichen waren. Rechenschwache Schülerinnen und Schüler wählten den Bruch als größten aus, der die größten Zahlen im Zähler und Nenner hatte. Die nicht-rechenschwachen Kinder gaben als größten Bruch den mit den kleinsten Zahlen im Zähler und Nenner an. Insgesamt betrachtet heißt das, dass rechenschwache und nicht-rechenschwache Schülerinnen und Schüler zwar unterschiedlich viele, aber inhaltlich sehr vergleichbare Fehler machen. Diskussion Da in der MARKUS-Studie Angaben zu Lernproblemen und deren Verlauf nicht erhoben wurden, gelingt die nachträgliche Analyse nur dann, wenn Kriterien für die Auswahl der Schülerinnen und Schüler genutzt werden, die mit hoher Wahrscheinlichkeit auf Rechenschwierigkeiten hinweisen. In diesem Sinne wurden als strenge Kriterien verwendet: Extrem schwache Leistungen in einem curriculumvaliden Mathematiktest (MARKUS-C) und mindestens durchschnittliche Leistungen in den Fächern Deutsch und erste Fremdsprache. Damit kann eine generelle Leistungsbeeinträchtigung einerseits ausgeschlossen und andererseits ein angemessenes Textverstehen angenommen werden. Entsprechend diesen Kriterien resultierte eine Stichprobe von 381 Schülerinnen und Schülern (= 1 % der Gesamtpopulation), die hinsichtlich ihrer prozentualen Größe unter den epidemiologischen Angaben zur Rechenschwäche liegt und sicher auch zum Ausschluss von Kindern aus unserer Stichprobe geführt haben mag, die in der Schule auch erhebliche Rechenprobleme zeigen. Dafür erlaubt diese aus einer Population generierte Stichprobe eine detaillierte Beschreibung der Personenmerkmale und damit einen Einblick in das Phänomen der Rechenschwäche. Betrachtet man diese Stichprobe rechenschwacher Achtklässler genauer, überrascht der hohe Anteil der Mädchen in der Stichprobe (267 Mädchen = 71.2 % : 108 Jungen = 28.2 %). In den wenigen bisher vorliegenden epidemiologischen Studien für das Vorschul- oder Grundschulalter ergaben sich ebenfalls Hinweise auf ein erhöhtes Vorkommen bei Mädchen, nicht aber in dieser Ausprägung. Klauer (1992) wies in seiner Untersuchung der Drittklässler nach, dass bei unterschiedlich gewählten Prädiktoren (Testleistungen vs. Noten) die Unterschiede sogar verschwanden, wenn nur die Testleistungen Berücksichtigung fanden. In der vorliegenden Studie ergaben sich aber auch dann noch massive Geschlechterunterschiede, wenn die Schülerinnen und Schüler nur nach ihren schwachen Rechenleistungen - ohne Diskrepanzkriterium zur Schulleistung - ausgewählt wurden (Mädchen 60 %; Jungen 40 %). Der hier vorliegende Befund findet allerdings eine Entsprechung in den TIMSS- und PISA-Daten, denen zufolge der Wissens- und Fertigkeitenvorsprung der Jungen in Mathematik im Verlauf der Schulzeit zunimmt. Im Der Rechenschwäche auf der Spur 185 Sinne des Matthäus-Prinzips scheint die Schere für die schwachen Schülerinnen während der Schulzeit weiter aufzugehen. Da aber die schwachen Leistungen in Mathematik mit den Befunden der Mädchen zu ihrem Selbstkonzept und den subjektiven Theorien der Lehrer zur Begabung von Mädchen und Jungen für das Fach Mathematik konfundiert sind, ist dies ein Ergebnis, dem in nachfolgenden Untersuchungen große Aufmerksamkeit zuzuwenden ist. Der größte Anteil der Schülerinnen und Schüler mit einer Rechenschwäche besuchte die Hauptschule, ein geringer Prozentsatz der Schülerinnen und Schüler war aber auch in anderen Bildungsgängen zu finden. Ähnlich wie in den vorausgegangenen Bildungsstudien erwies sich auch hier der Zusammenhang zwischen Testleistungen und Noten sowie zwischen Selbstkonzept und Testleistungen als wenig einheitlich. Offensichtlich fallen nicht alle Schülerinnen und Schüler, trotz gravierend schlechter Testleistungen, im Mathematikunterricht ihrer Klasse als besonders schwach auf. Dies deutet sich auch durch die Aussagen zu Klassenwiederholungen und Nachhilfe an. Bei der Analyse der Rechenleistungen weist die geringe Häufigkeit richtiger Lösungen auf grundsätzliche Wissensdefizite der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler hin. Sowohl leichte als auch schwere Aufgaben wurden von den rechenschwachen Schülerinnen und Schülern im Vergleich zu nichtschwachen Rechnern schlechter gelöst. Zwar lag die richtige Lösungshäufigkeit der Schülerinnen und Schüler mit einer Rechenschwäche selten unterhalb der Zufallserwartung (25 % korrekte Lösungen bei vier, 20 % korrekte Lösungen bei fünf Distraktoren), dafür konnten Bevorzugungen von Distraktoren jenseits eines Rateverhaltens festgestellt werden. Dies erlaubt die in weiterer Forschung zu überprüfende Schlussfolgerung, dass diese Lösungsentscheidungen nicht „zufällig“ getroffen wurden, sondern auf systematischen Fehlern in Lösungsprozessen basieren. In den Zufallsstichproben nicht-rechenschwacher Schülerinnen und Schüler wurden die Aufgaben mit einer Häufigkeit von 29.4 - 90.2 % bzw. 32.0 - 88.4 % gelöst. „Leicht“ waren offensichtlich Aufgaben, die lediglich die Kenntnis von Rechenalgorithmen erfordern, ohne dass Berechnungen durchzuführen bzw. diese zu erklären waren. Bei den rechenschwachen Schülerinnen und Schülern lag die Lösungshäufigkeit lediglich bei vier Aufgaben über 40 %. Dabei handelte es sich um eine Aufgabe zum Wissen über Potenzgesetze, zur Analyse einer einfachen Graphik, eine Aufgabe zum Runden und eine Geometrieaufgabe (Aufgabe A, D, F, I). Anders als in den Zufallsstichproben fielen dieser Gruppe im Verhältnis auch Aufgaben schwer, die die Ausrechnung von Operationen oder die Kenntnis von Algorithmen abfragten. Besonders schwierig waren offensichtlich die Aufgaben H (8.4 % Lösungshäufigkeit) und M (14.2 % Lösungshäufigkeit). Was macht diese Aufgaben so schwer (Was ist die besondere Anforderung dieser Aufgabe? ). Bei Aufgabe H geht es darum, unterschiedliche Brüche miteinander zu vergleichen. Gefordert ist also die Operation, den kleinsten gemeinsamen Nenner für alle Brüche zu finden und die Zähler entsprechend zu erweitern. Diese Prozedur setzt - wenn der Algorithmus nicht mehr abrufbar ist - die Einsicht voraus, dass Zahlen bzw. Mengen zerlegbar bzw. ineinander enthalten sind und die Gleichheit mehrerer Mengen direkt überprüfbar wird, wenn dies an einer einheitlichen Bezugsgröße erfolgt. Die herzustellen bedarf der Zerlegung der vorgegebenen Mengen, wobei die in jeder Menge enthaltenen Teilmengen miteinander zu vergleichen sind, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Dieses flexible Umgehen mit Zahlen baut auf den frühen Teil-Teil-Ganzes-Erfahrungen der ersten Grundschuljahre auf. Das Teil-Teil- Ganzes-Konzept steht für die Einsicht, dass Mengen jeweils ein Ganzes sind, das in unterschiedliche Teilmengen zerlegt und wieder zusammengesetzt werden kann. Erste Erfahrungen führen zur Zerlegung der Summanden bei Additionsaufgaben (7 + 5 = 7 + 3 + 2) und tragen zum Aufbau effektiver, vom zählenden Rechnen abgelöster Rechenstrategien bei. 186 Lars Balzer et al. Das Verständnis des Enthaltenseins von Teilmengen in einer Gesamtmenge ist auch bei der Aufgabe M gefordert. Die Aufgabe ist zwar textlich eingekleidet, aber dann, wenn dieses Konzept verfügbar ist, sehr leicht lösbar. Um die Beziehungen zwischen Zahlen geht es auch bei der Aufgabe N zur Proportionalität sowie bei der textlich eingekleideten Aufgabe K. Die Befunde deuten an, dass es nicht in erster Linie textlich eingekleidete Aufgaben sind, die den rechenschwachen Schülerinnen und Schülern die größten Schwierigkeiten bereiten; die Schwierigkeiten resultieren eher aus fehlenden grundlegenden mathematischen Konzepten, die nicht nur den Zugang zu effektiven Rechenstrategien erschweren, sondern grundsätzlich das Verständnis darüber, was Zahlen miteinander zu tun haben und welche Beziehungen zwischen ihnen bestehen. Im Vergleich von rechenschwachen und nicht-rechenschwachen Schülerinnen und Schülern ist es daher nicht verwunderlich, dass die erstgenannte Gruppe nicht nur in MARKUS- T insgesamt, sondern auch bezogen auf jedes Item statistisch signifikant und auch praktisch bedeutsam unter dem Niveau der zweitgenannten Gruppe liegt. Betrachtet man im Vergleich dazu die Aufgaben, die den nicht-rechenschwachen Schülerinnen und Schülern schwer fielen, zeigt sich, dass auch diese die schwächsten Leistungen zeigen bei Aufgaben zur Proportionalität (N, M), zur Umwandlung von Brüchen (H) sowie bei Textaufgaben, vor deren Lösung erst ein zutreffendes Situationsmodell erstellt werden muss. Im Vergleich der beiden Stichproben überrascht allerdings das relativ gute Abschneiden der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler verglichen mit den nicht-rechenschwachen bei den Aufgaben C und N: Die Diskrepanzen sind bei diesen Aufgaben sehr viel geringer. Über die Gründe für dieses Ergebnis kann an dieser Stelle nur spekuliert werden. Eine Hypothese ist, dass bei Aufgabe C die textlich eingekleidete Aufgabe unmittelbar in Handlung übertragbar ist und die Aufgabe durch eine einfache Addition der Teilmengen lösbar ist. Diese Aufgabe ist für die rechenschwachen Schülerinnen und Schüler offenbar weniger schwierig als Anforderungen zu Teil-Teil-Ganzes-Beziehungen und bestätigt die oben aufgestellte Hypothese über die Hauptschwierigkeiten dieser Schülerinnen und Schüler. Nach der Analyse der Aufgaben soll in einem zweiten Schritt die Wahl der Distraktoren eingehender analysiert werden. Da die Zusammenstellung der Distraktoren allerdings nicht theoriegeleitet erfolgt war und auch keine Begründungen der Schülerinnen und Schüler für die Wahl des jeweiligen Distraktors vorlagen, kann an dieser Stelle nur mit aller Vorsicht nach Erklärungen gesucht werden. Als wichtiges Ergebnis ist hervorzuheben, dass sich rechenschwache Schülerinnen und Schüler der Zufallsstichprobe weitgehend für die gleichen Distraktoren entschieden. Einige der Fehler (Aufgabe B: bevorzugte Falschlösung: C; Aufgabe G: bevorzugte Falschlösung: B) deuten auf „vages“ Regelwissen der Schülerinnen und Schüler hin. Bei anderen Aufgaben wird zu Vereinfachungen gegriffen (Aufgabe E: präferierte Falschlösung: D) bzw. werden Aufgaben nicht gut genug analysiert und Situationsmodelle unvollständig erstellt (Aufgabe C; präferierte Falschlösung: A; Aufgabe M: präferierte Falschlösung: C). Die präferierte Falschlösung der Aufgabe L (D) deutet auf eine Orientierung an Oberflächenmerkmalen hin, hier die Einheit. Ähnliches gilt bei der Aufgabe H (größte Zahlen in Zähler und Nenner). Dies im Detail zu untersuchen bleibt Aufgabe zukünftiger Forschung. Zusammenfassend ist hervorzuheben, dass rechenschwache Schülerinnen und Schüler offensichtlich die größten Probleme haben bei Aufgaben, die auf dem Teil-Teil-Ganzes-Konzept basieren und auf die Beziehungen zwischen Zahlen abzielen. In nicht so gravierendem Umfang, aber von der Tendenz her weisen auch die Leistungen der nicht-rechenschwachen Schüler in diese Richtung. Die Überprüfung dieser ersten Befunde sollte Gegenstand weiterer Forschung sein, denn bestätigt sich das Fehlen grundlegender mathematischer Konzepte, Der Rechenschwäche auf der Spur 187 die bereits in der Grundschule erworben werden, so müsste dies didaktische Konsequenzen haben. Bezogen auf die Wahl der Distraktoren präferieren rechenschwache und nicht-rechenschwache Schülerinnen und Schüler häufig gleiche Distraktoren. Dies erlaubt die Schlussfolgerung, dass die rechenschwachen Schülerinnen und Schüler zwar deutlich weniger korrekte Lösungen finden, jedoch beide Gruppen ähnliche Fehlkonzepte entwickeln. Anmerkungen 1 Ausführliche Informationen zum Projekt MARKUS (Mathematik-Gesamterhebung Rheinland-Pfalz: Kompetenzen, Unterrichtsmerkmale, Schulkontext) finden sich im Internet unter: http: / / www.lars-balzer.info/ projects/ projekt_markus.html 2 Ob gefundene statistisch signifikante Unterschiede nicht nur überzufällig und mathematisch auffällig, sondern auch tatsächlich praktisch bedeutsam und relevant sind, kann mit dem Effektstärkemaß ω 2 untersucht werden (für Details vgl. Wolf, 2001). Als Faustregel und Groborientierung gelten Werte für ω 2 um 0,01 als kleine, um 0,06 als mittlere und größer als 0,14 als große Effektstärken. Groborientierungen für Effektstärken (Cohen, 1977, 1988, 1992; Bortz & Döring, 2002, S. 604; Helmke & Jäger, 2002, S. 483) sollen aber nicht dogmatisch für alle Themenbereiche, zugrunde liegenden Designs und Analysemethoden exakt übernommen werden (Wolf, 2001, S. 97; Helmke & Jäger, 2002, S. 483; Huberty, 2002), denn deren Gültigkeit ist empirisch noch nicht abgesichert: „There is little empirical justification for these standards“ (Olejnik & Algina, 2000); „if people interpreted effect sizes with the same rigidity that α = .05 has been used in statistical testing, we would merely be being stupid in another metric“ (Thompson, 2001, S. 82). Gleichwohl können sie aber als Anhaltspunkt zur Interpretation der analysierten Daten dienen. Literatur American Psychiatric Association (1994). Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders. 4th ed (DSM- IV). Washington D. C.: APA. Baumert, J., Bos, W. & Lehmann, R. (Hrsg.). (2000 a). TIMSS/ III. 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Dr. Lars Balzer Schweizerisches Institut für Berufspädagogik (Eidgenössisches Hochschulinstitut für Berufsbildung) Kirchlindachstraße 79 CH-3052 Zollikofen Fax: +41-(0)31-3237777 E-Mail: evaluation@lars-balzer.info Prof. Dr. Annemarie Fritz Universität Duisburg-Essen Standort Essen Fachbereich 2 D-45117 Essen Fax: +49-(0)201-183-4266 E-Mail: fritz-stratmann@uni-essen.de Dr. Gabi Ricken Universität Erfurt Fachgebiet Sonder- und Sozialpädagogik Nordhäuser Str. 63 D-99089 Erfurt Fax: +49-(0)361-737-1913 E-Mail: gabriele.ricken@uni-erfurt.de Prof. Dr. Reinhold S. Jäger Universität Koblenz-Landau Campus Landau Zentrum für empirische pädagogische Forschung Bürgerstr. 23 D-76829 Landau Fax: +49-(0)6341-906166 E-Mail: jaeger@zepf.uni-landau.de Der Rechenschwäche auf der Spur 189 Anhang Aufgabe A Welcher dieser Ausdrücke ist gleichbedeutend mit y 3 ? a) y + y + y b) y · y · y c) 3y d) y 2 + y Aufgabe B Welcher der folgenden Ausdrücke ist gleich m + m + m + m, wenn m eine positive Zahl ist? a) m + 4 b) 4m c) m 4 d) 4 (m + 1) Aufgabe C Wenn ein Gummiball zu Boden fällt, springt er die Hälfte der Strecke wieder hoch. Der Ball wird von einem 18 m hohen Dach fallen gelassen. Welche gesamte Entfernung hat der Ball zurückgelegt, wenn er das dritte Mal den Boden berührt? a) 31,5 m b) 40,5 m c) 45 m d) 63 m Aufgabe D Die Grafik zeigt die Größe von 4 Mädchen. Die Namen fehlen in der Grafik. Kathrin ist die Größte, Barbara die Kleinste. Carmen ist größer als Maja. Wie groß ist Maja? a) 75 cm b) 100 cm c) 125 cm d) 150 cm Aufgabe E Die neun abgebildeten Spielsteine werden in einem Sack gemischt. Madeleine zieht einen Spielstein aus dem Sack. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Spielstein mit einer geraden Zahl zieht? a) b) c) d) Aufgabe F In einem Zeitungsbericht steht, dass ungefähr 18 200 Bäume in einem Park angepflanzt worden sind. Die Zahl wurde auf ganze Hunderter gerundet. Welche der folgenden Zahlen kann die tatsächliche Anzahl der gepflanzten Bäume sein? a) 18 043 b) 18 189 c) 18 289 d) 18 328 Aufgabe G a) b) c) d) e) Aufgabe H Welche Zahl ist am größten? a) b) c) d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -- 9 4 -- 9 2 -- 9 1 -- 2 3 -- 4 2 -- 3 1 -- 4 + · = ( ) 1 -- 8 17 -- 48 5 -- 16 5 -- 6 11 -- 12 4 -- 5 5 -- 8 3 -- 4 7 -- 10 190 Lars Balzer et al. Aufgabe I Diese Figur wird in eine andere Lage gedreht. Welche der folgenden Figuren erhält man, wenn man die Obenstehende dreht? a) b) c) d) Aufgabe J In welchem Verhältnis steht bei einem Quadrat die Länge einer Seite zur Länge des Umfangs? a) b) c) d) Aufgabe K Wie viele 750 ml-Flaschen benötigt man, um 600 l Wasser abzufüllen? a) 8 b) 80 c) 800 d) 8000 Aufgabe L Welche der folgenden Angaben bezeichnet die längste Zeitdauer? a) 15 000 Sekunden b) 1500 Minuten c) 10 Stunden d) 1 Tag Aufgabe M Zur Herstellung einer bestimmten Farbe mischt Anna 5 Liter Rot, 2 Liter Blau und 2 Liter Gelb. Wie ist das Verhältnis von roter Farbe zur Gesamtmenge? a) b) c) d) Aufgabe N Die Tabelle zeigt Werte von x und y, wobei x proportional zu y ist. Welches sind die Werte von P und Q? a) P = 14 und Q = 31 b) P = 10 und Q = 14 c) P = 10 und Q = 31 d) P = 14 und Q = 15 e) P = 15 und Q = 14 1 -- 1 1 -- 3 1 -- 2 1 -- 4 5 -- 2 5 -- 4 9 -- 4 5 -- 9 x 3 6 P y 7 Q 35