eJournals Psychologie in Erziehung und Unterricht 62/3

Psychologie in Erziehung und Unterricht
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0342-183X
Ernst Reinhardt Verlag, GmbH & Co. KG München
71
2015
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Mehr als numerische Basiskompetenzen?

71
2015
Anne-Katrin Jordan
Christoph Duchhardt
Aiso Heinze
Timo Tresp
Meike Grüßing
Der vorliegende Beitrag behandelt Kernfragen zur mathematischen Kompetenz von Kindergartenkindern. Dabei werden zum einen die Dimensionalität und zum anderen die Abgrenzung zu Arbeitsgedächtnisleistungen untersucht. Mathematische Kompetenz wird mit dem Kieler Kindergartentest (KiKi) erfasst, Arbeitsgedächtnisleistungen mit Subskalen des K-ABC. Die Stichprobe umfasst ca. 200 Kinder im Alter von durchschnittlich vier Jahren. Es zeigt sich, dass bereits im Kindergartenalter über den Bereich Mengen, Zahlen und Operationen, der von vorliegenden Testverfahren fast ausschließlich fokussiert wird, hinaus weitere mathematische Inhaltsbereiche erfasst werden können. So lassen sich in der hier präsentierten Studie außerdem die Bereiche Veränderung und Beziehungen und Raum und Form differenziert abbilden. Alle drei Subdimensio-nen können dabei empirisch von Arbeitsgedächtnisleistungen abgegrenzt werden.
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n Empirische Arbeit Psychologie in Erziehung und Unterricht, 2015, 62, 205 -217 DOI 10.2378/ peu2015.art16d © Ernst Reinhardt Verlag München Basel Mehr als numerische Basiskompetenzen? Zur Dimensionalität und Struktur mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern Anne-Katrin Jordan, Christoph Duchhardt, Aiso Heinze, Timo Tresp, Meike Grüßing, Eva Knopp Leibniz-Institut für die Pädagogik der Naturwissenschaften und Mathematik, Kiel Zusammenfassung: Der vorliegende Beitrag behandelt Kernfragen zur mathematischen Kompetenz von Kindergartenkindern. Dabei werden zum einen die Dimensionalität und zum anderen die Abgrenzung zu Arbeitsgedächtnisleistungen untersucht. Mathematische Kompetenz wird mit dem Kieler Kindergartentest (KiKi) erfasst, Arbeitsgedächtnisleistungen mit Subskalen des K-ABC. Die Stichprobe umfasst ca. 200 Kinder im Alter von durchschnittlich vier Jahren. Es zeigt sich, dass bereits im Kindergartenalter über den Bereich Mengen, Zahlen und Operationen, der von vorliegenden Testverfahren fast ausschließlich fokussiert wird, hinaus weitere mathematische Inhaltsbereiche erfasst werden können. So lassen sich in der hier präsentierten Studie außerdem die Bereiche Veränderung und Beziehungen und Raum und Form differenziert abbilden. Alle drei Subdimensionen können dabei empirisch von Arbeitsgedächtnisleistungen abgegrenzt werden. Schlüsselbegriffe: Mathematische Kompetenz, Kindergarten, Dimensionen, Arbeitsgedächtnis More Than Numerical Competencies? Dimensionality and Structure of Kindergarteners' Mathematical Competence Summary: This article addresses core issues of the mathematical competence of kindergarten children and analyzes both dimensionality and the differentiation from working memory performance. Mathematical competence is assessed with the Kieler Kindergartentest (KiKi) and working memory is assessed with subscales of the K-ABC. The sample consists of approximately 200 children, with an average age of four years. Results show that mathematical content areas other than sets, numbers and operations, which are the main focus of available tests, can already be measured in kindergarten. Here, the areas change and relationships as well as space and shape can be distinguished from sets, numbers and operations. Additionally, all three subdimensions can be empirically differentiated from working memory. Keywords: Mathematical competence, kindergarten, dimensionality, structure, working memory Die Messung von fachspezifischen Kompetenzen hat im Rahmen der Bildungsforschung in den letzten 20 Jahren eine immer größere Bedeutung gewonnen. Standen dabei zunächst querschnittliche Messungen im Rahmen des Bildungsmonitorings für das Schulwesen im Vordergrund (z. B. Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS), folgten anschließend auch längsschnittliche Ansätze (z. B. Nationales Bildungspanel, NEPS), bei denen die Kompetenzmessungen bereits im Vorschulalter beginnen. Eine spezielle Herausforderung liegt dabei vor allem in der Frage, wie fachspezifische Kompetenzen für jüngere Kinder valide abgebildet werden können und inwieweit diese bei der Messung von allgemeinen kognitiven Fähigkeiten abgrenzbar sind. Die Erfassung von fachspezifischen Kompetenzen bereits im Vorschulalter begründet sich u. a. durch eine Reihe von Befunden, nach denen 206 Anne-Katrin Jordan et al. bereits im Kindergartenalter erworbene fachspezifische Kompetenzen prädiktiv für die spätere Kompetenzentwicklung sind (z. B. Anders & Roßbach, 2013; Krajewski & Schneider, 2006). Für den Bereich der mathematischen Kompetenz beschränkt sich die bisherige Forschung dabei allerdings fast ausschließlich auf den Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen (z. B. Aunola, Leskinen, Lerkkanen & Nurmi, 2004). Vor diesem Hintergrund beschäftigt sich dieser Artikel mit der grundlegenden Frage, ob ein differenzierteres Modell mathematischer Kompetenz für das Kindergartenalter entwickelt, operationalisiert und empirisch geprüft werden kann. Dabei stellt sich insbesondere die Frage, inwieweit weitere Kompetenzdimensionen, die über den Bereich Mengen, Zahlen und Operationen hinausgehen, substanziell und genuin mathematisch in dem Sinne sind, dass sie sich von fachunspezifischen kognitiven Fähigkeiten trennen lassen. Sollte dies der Fall sein, so wäre damit eine präzisere Beschreibung mathematischer Kompetenz im Elementarbereich möglich, die anschließend auf ihre prädiktive Wirkung für die Entwicklung der mathematischen Kompetenz in der Primarstufe zu untersuchen wäre. Theoretischer Hintergrund Im Folgenden gehen wir zunächst auf Modelle mathematischer Kompetenz, deren Struktur und anschließend auf die Messung und die Rolle mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern ein. Modelle zur Struktur mathematischer Kompetenz National wie auch international hat sich in den vergangenen 15 Jahren in der Bildungsforschung ein Konsens herauskristallisiert, mathematische Kompetenz über eine Kombination von (1) mathematischen Inhaltsbereichen und (2) kognitiven Prozessen bzw. Fähigkeiten, die für mathematische Tätigkeiten notwendig sind, zu beschreiben (z. B. Kultusministerkonferenz [KMK], 2004; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000; Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD], 2012). Die fachlichen Inhalte werden dabei meist in die Bereiche Zahlen und Operationen, Größen und Messen, Raum und Form, Veränderung und Beziehungen sowie Daten und Zufall strukturiert. In einigen Konzeptionen werden die ersten beiden Inhaltsbereiche auch zu einem größeren Bereich Quantität zusammengefasst; auch kommen unterschiedliche Bezeichnungen vor (etwa Funktionaler Zusammenhang statt Veränderung und Beziehungen). Die mathematikbezogenen kognitiven Prozesse bzw. Fähigkeiten untergliedern sich in der Regel in Mathematisch argumentieren, Probleme mathematisch lösen, Mathematisch modellieren, Mathematische Darstellungen verwenden, Technische Fähigkeiten und Fertigkeiten sowie Mathematisch kommunizieren. Auch hier unterscheiden sich die Konzeptionen (KMK, NCTM, OECD) kaum und Abweichungen kommen vor allem durch eine feinere oder gröbere Beschreibung der mathematikbezogenen kognitiven Prozesse zustande. Ergebnisse empirischer Analysen zu den normativ angenommenen Strukturmodellen deuten darauf hin, dass mathematische Kompetenz ein mehrdimensionales Konstrukt ist, das sich besser nach mathematischen Inhalten als nach kognitiven Prozessen strukturieren lässt (z. B. Brunner, 2006; Winkelmann, Robitzsch, Stanat & Köller, 2012). Vor dem Hintergrund der theoretischen Konzeptualisierung mathematischer Kompetenz sowie der empirischen Analysen zur mehrdimensionalen Struktur mathematischer Kompetenz in der Primar- und Sekundarstufe stellt sich somit die Frage, ob nicht auch für das Kindergartenalter ein Kompetenzkonstrukt angenommen werden kann, das über den bisher fast ausschließlich betrachteten Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen 1 hinausgeht. Von theoretischer Seite gibt es bereits Vorschläge für mehrdimensionale Kompetenzmodelle 1 Wir bezeichnen den Bereich Zahlen und Operationen für das Vorschulalter als Mengen, Zahlen und Operationen, weil in der Zahlbegriffsentwicklung in diesem Alter die Mengen bzw. die Verknüpfung von Zahlworten und Mengen einen großen Stellenwert haben (z. B. Schneider, Küspert & Krajewski, 2013). Mehr als numerische Basiskompetenzen? 207 (Ehmke et al., 2009; NCTM, 2000), die mehrere Inhaltsbereiche abdecken. Dabei ist allerdings unklar, ob sich die angenommenen Kompetenzdimensionen auch in dieser Altersstufe empirisch trennen lassen. So könnte die zuvor erwähnte inhaltsbezogene Ausdifferenzierung der Kompetenzstruktur am Ende der Primarstufe auf die systematische Ausdifferenzierung der fachspezifischen, curriculumsbasierten Lerngelegenheiten im Mathematikunterricht zurückzuführen sein, die es in dieser Form im Kindergarten allerdings noch nicht gibt. Auch die age differentiation hypothesis, nach der sich allgemeine kognitive Fähigkeiten vom Vorschulbis zum Erwachsenenalter mehr und mehr in spezifische Fähigkeiten differenzieren (z. B. Li et al., 2004; Tucker-Drob, 2009), könnte vermuten lassen, dass die mathematische Kompetenz aufgrund der jeweils spezifischen Anforderungen in Bereichen wie Mengen, Zahlen und Operationen, Raum und Form sowie Veränderung und Beziehungen noch nicht ausdifferenziert ist. Demnach wäre auch denkbar, dass die mathematische Kompetenz von Kindergartenkindern eine eindimensionale Struktur aufweist. Messung und Bedeutung mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern Standardisierte Kompetenzmessungen im Kindergartenalter werden von vielfältigen, insbesondere altersspezifischen Herausforderungen begleitet: geringe Aufmerksamkeitsspanne, nicht vorhandene Lesefähigkeit oder eingeschränkte Verbalisierungsfähigkeiten. Trotzdem liegen im deutschsprachigen Raum bereits einige standardisierte Testverfahren für eine Erfassung mathematischer Fähigkeiten im Vorschulalter vor (Überblick dazu z. B. Benz, Peter-Koop & Grüßing, 2014; Schneider et al., 2013), die alle in Form von standardisierten, maximal 30-minütigen Einzelinterviews durch geschulte Interviewerinnen oder Interviewer, zumeist mit Einsatz verschiedener Materialien, durchgeführt werden (z. B. Ricken, Fritz- Stratmann & Balzer, 2012; van Luit, van de Rijt & Hasemann, 2001; von Aster, Bzufka, Horn, Zulauf & Schweiter, 2009). International ist das Research Based Early Maths Assessment (REMA) hervorzuheben, welches zentrale mathematische Themen (Clements & Conference Working Group, 2004) einbezieht und Items aus den Bereichen Zahlen, Geometrie, Größen sowie Muster und Strukturen (Clements, Sarama & Liu, 2008) enthält. Jedoch wird hier ein eindimensionales Konstrukt angenommen und der Itempool entsprechend ausgewählt und skaliert, um ein Maß für Veränderungsmessungen zu erhalten. Eine Analyse der Kompetenzstruktur wurde nicht vorgenommen und war auch nicht Ziel der Testentwicklung. Alle Verfahren - mit Ausnahme des REMA - konzentrieren sich auf den Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen. Dabei steht außer Frage, dass Kindergartenkinder auch Situationen begegnen und Erfahrungen machen, die anderen mathematischen Inhaltsbereichen zugeordnet werden können, sodass ein korrespondierendes mathematisches Kompetenzkonstrukt breiter aufzufassen ist (z. B. Benz et al., 2014; Clements & Sarama, 2007). Betrachtet man die bisherigen Untersuchungen zur prädiktiven Wirkung mathematischer Kompetenz auf die weitere Kompetenzentwicklung, so konzentrieren sich auch diese - aufgrund der Einschränkung der vorhandenen Testverfahren - primär auf den Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen. So konstatieren Aunola et al. (2004) die Zählfähigkeit - erhoben mit vier Subtests der Diagnostic Tests for Metacognitions and Mathematics (Salonen et al., 1994) zu Beginn der Vorschule - als wichtigen Prädiktor für mathematische Leistungsentwicklung. In zahlreichen Studien konnte weiterhin gezeigt werden, dass Kenntnisse im Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen/ Zahlen-Vorwissen/ numerische Kompetenzen im Vorschulalter prädiktiv für die Mathematikleistung in der Grundschule sind (Dornheim, 2008; Jordan, Kaplan, Ramineni & Locuniak, 2009; Krajewski & Schneider, 2006). Zusammenfassend wird in den zitierten Studien die Bedeutung früher numerischer Kompetenz für die weitere Kompetenzentwicklung im Verlauf der Grundschulzeit betont. Dabei wurden bei den Erhebungen im 208 Anne-Katrin Jordan et al. Kindergarten fast ausschließlich und in der längsschnittlichen Betrachtung im Grundschulalter vornehmlich Tests mit einem Schwerpunkt Mengen, Zahlen und Operationen bzw. Arithmetik eingesetzt. Wenn aber mathematische Kompetenz von der Primarstufe an als mehrdimensionales Konstrukt mit verschiedenen Inhaltsbereichen aufgefasst und abgebildet wird (s. o., Winkelmann et al., 2012), so greift im Sinne einer Erklärung der Entwicklung mathematischer Kompetenz im Kindergartenalter eine Prädiktion durch ein eindimensional aufgefasstes Konstrukt möglicherweise zu kurz. Mathematische Kompetenz, allgemeine kognitive Fähigkeiten und Arbeitsgedächtniskapazität Für die Entwicklung mathematischer Kompetenz spielen allgemeine kognitive Fähigkeiten zweifellos eine bedeutende Rolle. Studien, die mathematische Testleistungen und kognitive Grundfähigkeiten von Kindern in Relation setzten, weisen Korrelationen im Bereich von r = .40 bis r = .51 auf (z. B. Cattell, Weiß & Osterland, 1997; Krajewski, Liehm & Schneider, 2004). Zusammenhänge zeigen sich insbesondere zum logischschlussfolgernden Denken, zur verbalen Intelligenz, mit der besonders die arithmetischen Fertigkeiten zusammenhängen, sowie zu Gedächtnisleistungen und visuell-räumlichen Fähigkeiten (Dornheim, 2008). Ebenso konnten in vielen Studien immer wieder hohe Korrelationen zwischen Testleistungen zur Arbeitsgedächtniskapazität und zur fluiden Intelligenz (z. B. Oberauer, Schulze, Wilhelm & Su, 2005) sowie zwischen Arbeitsgedächtniskapazität und Rechenfertigkeiten bzw. Unterbereichen mathematischer Kompetenz nachgewiesen werden (s. einen Überblick in Fischbach, Preßler & Hasselhorn, 2012). Zur Beschreibung des Arbeitsgedächtnisses gibt es verschiedene Modelle. So stellt beispielsweise Oberauer (2002) das Arbeitsgedächtnis in Form eines konzentrischen Modells mit drei Ebenen dar: einen focus of attention, eine Zone des direkten Zugriffs und einen aktivierten Teil des Langzeitgedächtnisses. Nach dem Modell des Arbeitsgedächtnisses von Baddeley und Hitch (1974), welches hier zur Grundlage genommen wird, werden drei Teilsysteme unterschieden: der visuell-räumliche Notizblock (Visuo-spatial Sketchpad), die phonologische Schleife (Phonological Loop) und die zentrale Exekutive (Central Executive). Baddeley (2000) entwickelt dieses Modell weiter und ergänzt einen Episodischen Puffer, der Informationen speichern kann und den anderen Hilfssystemen temporär zur Verfügung steht. Das visuell-räumliche Arbeitsgedächtnis dient der kurzzeitigen Speicherung und Verarbeitung visuell-räumlicher Informationen (z. B. bei einem Vergleich zweier Mengen). Das phonologische Arbeitsgedächtnis ist bedeutsam für die Verarbeitung verbaler Informationen wie etwa bei Zahlwörtern, die sprachlich (auditiv) aufgenommen werden. Hier erleichtert eine hohe auditiv-verbale Gedächtnisspanne das Erlernen der Zahlwortreihe, die eine Grundlage für Zählkompetenzen darstellt (Krajewski & Schneider, 2009; Schneider et al., 2013). Die zentrale Exekutive schließlich kontrolliert den Einsatz beider Systeme und ist wichtig für ein erfolgreiches Operieren mit Zahlen und Ziffern wie etwa bei der Bestimmung von Vorgänger und Nachfolger (Schneider et al., 2013). Diverse Studien konstatieren, dass Arbeitsgedächtnisleistungen prädiktiv für mathematische Leistung sind bzw. mit diesen substanziell korrelieren (z. B. Bull, Espy & Wiebe, 2008; Grube, 2006; Krajewski, Schneider & Nieding, 2008). Fischbach et al. (2012) konnten zeigen, dass insbesondere das visuell-räumliche Arbeitsgedächtnis prädiktiv für mathematische Kompetenz ist, während Lee, Ng, Ng und Lim (2004) einen Einfluss der zentralen Exekutive auf die mathematischen Kompetenzen beobachteten. Grube und Barth (2004) fanden ebenfalls einen Einfluss der zentralen Exekutive sowie der phonologischen Schleife auf die Rechenleistung von Viertklässlern. Krajewski et al. (2008) verdeutlichen darüber hinaus, dass das phonologische Arbeitsgedächtnis auch für den Erwerb mathematischer Kompetenzen im Bereich Mengen-Zahlen wichtig ist. Mehr als numerische Basiskompetenzen? 209 Insgesamt kann konstatiert werden, dass hinsichtlich der arithmetischen Kompetenz für alle drei Arbeitsgedächtniskomponenten substanzielle Zusammenhänge nachzuweisen sind (s. auch Schmid, 2011). Dieser deutliche Zusammenhang zwischen mathematischen Leistungen und dem Arbeitsgedächtnis stellt für Testverfahren zur Messung mathematischer Kompetenz auch immer eine Herausforderung für deren Validität dar. Entsprechend ist bei der Untersuchung einer mehrdimensionalen Struktur mathematischer Kompetenz im Kindergartenalter zu prüfen, inwieweit sich die Kompetenzdimensionen von Arbeitsgedächtnisleistung abgrenzen lassen. Ziele und Forschungsfragen Auf Basis des zuvor dargestellten theoretischen Hintergrunds verfolgt unsere Studie zwei Ziele. Zum einen soll die Struktur mathematischer Kompetenz von Kindern im Elementarbereich im Hinblick auf eine mögliche Mehrdimensionalität analysiert und zum anderen eine Validitätsanalyse zur Abgrenzung der identifizierten Kompetenzdimensionen von der Arbeitsgedächtniskapazität durchgeführt werden. Mit den beiden Zielen sind die folgenden Forschungsfragen verbunden: 1. Lassen sich bezüglich der Struktur mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern verschiedene Kompetenzdimensionen differenzieren? Sind diese Kompetenzdimensionen nach Inhaltsbereichen strukturiert, d. h. lassen sich insbesondere neben einer Dimension Mengen, Zahlen und Operationen weitere inhaltsbezogene Dimensionen differenzieren? 2. Lassen sich die mathematischen Kompetenzdimensionen und die Arbeitsgedächtnisleistung empirisch voneinander trennen? 3. Wie hoch ist jeweils der Anteil der Varianz in den Kompetenzdimensionen, die durch Arbeitsgedächtnisleistungen und durch einen Faktor allgemeiner mathematischer Kompetenz erklärt wird? Wie unterscheiden sich diese Varianzanteile innerhalb der Dimensionen mathematischer Kompetenz? Methode Instrumente Zur Untersuchung der Forschungsfragen wurde auf Daten zurückgegriffen, die zum einen mit Items des Kieler Kindergartentests (KiKi) zur Erfassung mathematischer Kompetenz und zum anderen mit Skalen zur Erfassung der Arbeitsgedächtnisleistung erhoben wurden. Kieler Kindergartentest (KiKi) Der Kieler Kindergartentest (KiKi) Mathematik (Grüßing et al., 2013) unterscheidet sich insbesondere in drei Aspekten von den gängigen Maßen zur mathematischen Leistungsmessung bei Kindergartenkindern. Zum einen umfasst der KiKi einen skalierbaren Itempool, aus dem für die Altersspanne drei bis sechs Jahre verschieden schwere Tests zusammengestellt werden können (Grüßing et al., 2013). Dies beinhaltet zum zweiten, dass der KiKi insbesondere schon für sehr junge Kinder verwendet werden kann. Für Dreijährige gibt es derzeit kaum standardisierte Verfahren zur Erfassung mathematischer Kompetenz (abgesehen von der Möglichkeit, einzelne Subtests von Intelligenztests zur Einschätzung der mathematischen Kompetenz zu nutzen). Zum dritten erhebt der KiKi den Anspruch, mathematische Kompetenz in einem umfassenden Sinn zu erheben (Grüßing et al., 2013). Das heißt, neben dem Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen erfolgt auch in den Bereichen Größen und Messen, Raum und Form, Daten und Zufall sowie Veränderung und Beziehungen eine systematische Erfassung der Fähigkeiten. Aufgrund der hohen Bedeutung liegt aber auch beim KiKi der Schwerpunkt auf dem Bereich Mengen, Zahlen und Operationen. Die Items in diesem Bereich erfassen u. a. Mengenvergleiche, Zahlerfassungen, Zahldarstellungen sowie das Zählen und Abzählen (Information zur inhaltlichen Grundlage für das Testkonzept und zur methodischen Grundlage s. Grüßing et al., 2013). Der Inhaltsbereich Raum und Form umfasst die Identifikation geometrischer Formen, die Analyse einfacher Eigenschaften sowie das Erkennen unterschiedlicher Sichtperspektiven. Eine Aufgabe kann z. B. darin bestehen, aus verschiedenen Formen ein Viereck auszuwählen. Items aus dem Bereich Veränderung und Beziehungen zeichnen sich beispielsweise durch das Erkennen und Fortsetzen geometrischer Muster und durch einfache (Anti-)Proportionalität (z. B. längerer Weg - mehr Schritte) in für Kinder alltäglichen Situationen aus. 210 Anne-Katrin Jordan et al. Im KiKi-Itempool sind alle beschriebenen Inhaltsbereiche abgedeckt. Da aufgrund der jungen Stichprobe (s. u.) in dieser Erhebung nur eine altersangemessene Auswahl an Items des KiKi basierend auf den Itemschwierigkeiten der Pilotierungen eingesetzt wurde, werden durch das Instrument neben dem Bereich Mengen, Zahlen und Operationen (MZO; 15 Items) nur die Bereiche Raum und Form (RF; 7 Items) und Veränderung und Beziehungen (VB; 4 Items) mit ausreichend vielen Items abgebildet. Über die in der Vollversion des KiKi ebenfalls abgebildeten Inhaltsbereiche Größen und Messen und Daten und Zufall können bei dieser Analyse keine Aussagen gemacht werden. In der Vollversion sind alle Dimensionen bis auf MZO (10 Items) mit je fünf Items abgedeckt. Die KiKi-Testung wird in einem Einzelinterview von geschulten Testleiterinnen und Testleitern durchgeführt und dauert maximal 30 Minuten. Neben verschiedenen Testmaterialien wie Bildern, Bauklötzen und Muggelsteinen wird eine Handpuppe aktiv in die Testung einbezogen. Diese dient sowohl als dritte Person als auch als Eisbrecher und soll weiterhin ein Gefühl von Sicherheit und Vertrautheit vermitteln. Die Antworten der Kinder werden während des Interviews von den Testleiterinnen und Testleitern als korrekt oder nicht korrekt codiert und die Codes in den Analysen als Ausprägungen von dichotomen Variablen aufgefasst. Phonologisches Arbeitsgedächtnis für Nichtwörter und die Nonverbale Skala des K-ABC In Anlehnung an das bereits beschriebene Arbeitsgedächtnismodell werden in der Studie Leistungen in den zwei Bereichen phonologische Schleife und räumlich-visueller Notizblock erfasst. Zur Leistungsmessung im Bereich phonologische Schleife wurde der Subtest Phonologisches Arbeits-gedächtnis für Nichtwörter aus dem Sprachentwicklungstest für dreibis fünfjährige Kinder (Grimm, 2010) eingesetzt. Der Test besteht aus 18 konstruierten zweibis fünfsilbigen Kunstwörtern, deren semantische Nä-he in wissenschaftlichen Voruntersuchungen eingestuft wurde. Aufgabe der Kinder ist es, die von der Testleitung vorgelesenen Kunstwörter (z. B. Gattwutz) genau nachzusprechen. Die dreijährigen Kinder bearbeiten 13 der 18 Items, während ihnen unterstützend Fantasiefiguren präsentiert werden, deren Namen die Kunstwörter darstellen. Die vierbis fünfjährigen Kinder bearbeiten alle 18 Items ohne Präsentation der Fantasiefiguren. Die Auswertung erfolgt dichotom, für jedes exakt richtig wiederholte Kunstwort gibt es einen Punkt. Zur Erfassung der Leistung des Bereichs räumlich-visueller Notizblock wurden Untertests aus der sprachfreien Skala der deutschsprachigen Fassung der Kaufman-Assessment Battery for Children (Melchers & Preuß, 2009) eingesetzt. Die statisch-visuelle Komponente des räumlich-visuellen Notizblocks wurde durch den Untertest Wiedererkennen von Gesichtern operationalisiert. Es wird den Kindern jeweils ein Foto einer (später zweier) Person(en) vorgelegt. Nach etwa einer Sekunde wird den Kindern ein weiteres Foto mit unterschiedlich vielen Personen dargeboten, auf dem es die vorher gesehene(n) Person(en) zu identifizieren gilt. Insgesamt besteht der Untertest aus 15 Items, die jeweils dichotom ausgewertet werden. Als weiteres Maß für den räumlich-visuellen Notizblock wurde dessen räumlich-dynamische Komponente mittels des Subtests Handbewegungen ebenfalls nach Anweisung des Testmanuals überprüft. Dem Kind werden variierende Abfolgen der Handbewegungen Handkante, Handfläche und Faust präsentiert, die es imitieren soll. Insgesamt bearbeiten Kinder bis 4; 11 Jahre 15 und Kinder bis 5; 11 Jahre 18 Items. Die Anzahl der Handbewegungen steigert sich von einer Sequenz von zwei bis auf fünf Bewegungen. Die Auswertung erfolgt wiederum dichotom. Stichprobe Für unsere Untersuchung konnten wir auf einen vorhandenen Datensatz zugreifen, der im Rahmen des Projektes Kompetenzen alltagsintegriert schützen und stärken (KOMPASS) der Universität Rostock in Mecklenburg-Vorpommern erhoben wurde (Jungmann et al., 2012). In einer Längsschnittuntersuchung (2012 - 2015) wird hier die Effektivität von Fortbildungseinheiten sowohl auf die Handlungskompetenzen von Erzieherinnen und Erziehern als auch auf die Kompetenzentwicklung von Kindern im Vorschulalter für die Bereiche Sprache/ Literacy und Mathematik sowie den emotional-sozialen Bereich untersucht. Bei der Stichprobe handelt es sich um eine Gelegenheitsstichprobe aus elf Kindergärten in Mecklenburg-Vorpommern. Die Einzugsgebiete weisen Mehr als numerische Basiskompetenzen? 211 dabei keine Besonderheiten auf (sog. soziale Brennpunkte o. Ä.) und die Hintergrunddaten der Kinder (SES, Migrationshintergrund) ergeben im Hinblick auf das Bundesland keine Auffälligkeiten. Insgesamt liegen für den KiKi vollständige Daten von N = 207 zumeist jüngeren Kindergartenkindern im Alter von 35 bis 62 Monaten (M = 48.45, SD = 7.58) vor. Mädchen und Jungen sind in der Stichprobe gleich verteilt (50,5 % Jungen, 49,5 % Mädchen). Analysestrategie Die erste Forschungsfrage beschäftigt sich mit der Struktur der mathematischen Kompetenz, welche mit konfirmatorischen Faktorenanalysen untersucht wird. Als Reliabilitätsmaß wird die Omega-Reliabilität (Zinbarg, Revelle, Yovel & Li, 2005; Zinbarg, Yovel, Revelle & McDonald, 2006) verwendet. Zur Beantwortung der zweiten und dritten Forschungsfrage werden Strukturgleichungsmodelle geschätzt. Alle Berechnungen werden in Mplus 7.2 (Muthén & Muthén, 2014) durchgeführt. Es wird jeweils der robuste Weighted Least Square Mean and Variances adjusted Schätzer (WLSMV) gewählt (Beauducel & Herzberg, 2006). Dabei werden alle Fälle mittels pair-wise present verwendet. Die Covariance Coverage für Variablenkombinationen lag zwischen .80 und .99 (Forschungsfrage 1) bzw. zwischen .71 und .99 (Forschungsfrage 2). Der Modellvergleich erfolgt anhand der absoluten Fitindizes (RMSEA, CFI). Insgesamt werden drei Strukturgleichungsmodelle zweiter Ordnung gegenübergestellt: ein Ein- Faktor-Modell, ein Modell mit zwei korrelierten Faktoren (Arbeitsgedächtnis und mathematische Kompetenz) und ein Nested-Faktormodell mit zwei unkorrelierten Faktoren, wobei alle Indikatoren auf dem ersten Faktor (Generalfaktor) und alle Mathematikindikatoren zusätzlich auf einem zweiten Faktor laden. Demnach werden sowohl bereichsspezifische mathematische Kompetenzen als auch ein hierarchisch übergeordneter Generalfaktor erfasst. Auf Basis der Ergebnisse der ersten Forschungsfrage werden in jedem Modell drei latente Indikatoren mathematischer Kompetenz (erster Ordnung) gebildet, die den drei Inhaltsbereichen entsprechen. Das Arbeitsgedächtnis wird durch drei Indikatoren der phonologischen Schleife und den non-verbalen Skalen Gesichter und Handbewegungen in Form von Summenscores operationalisiert. Ergebnisse Struktur der mathematischen Kompetenz Um die Struktur der mathematischen Kompetenz von Kindergartenkindern zu untersuchen, wird zunächst ein eindimensionales Modell, in dem alle Items auf einer Dimension laden, geschätzt. Da mit dem vorliegenden Test eine Differenzierung von drei inhaltsbezogenen Dimensionen angestrebt wurde, stellt das entsprechende dreidimensionale das zweite Modell in diesem Modellvergleich dar. Aufgrund einer auffällig hohen Korrelation (.97) zwischen den Dimensionen Veränderung und Beziehungen und Raum und Form (vgl. Tab. 2) wird zusätzlich ein zweidimensionales Modell geschätzt, das diese beiden Bereiche zu einer Dimension zusammenfasst. Das eindimensionale Modell weist im Modellvergleich hinsichtlich der absoluten Fitindizes die schlechtesten Werte auf (vgl. Tab. 1) und eignet sich deshalb weniger gut zur Beschreibung der empirischen Daten. Da die Abgrenzung zwischen dem zwei- und dreidimensionalen Modell auf Basis der Fitindizes weniger deutlich ist, wurde zusätzlich ein c 2 -Differenzentest (DIFFTEST Option in Mplus aufgrund des WLSMV-Schätzers) berechnet, dieser fällt klar zugunsten des dreidimensionalen Modells aus, c 2 (3, N = 207) = 15.1, p < .01, sodass dieses Modell im Folgenden bevorzugt wird. Da auch inhaltlich keine naheliegende Begründung für den starken Zusammenhang der beiden Dimensionen Raum und Form und Veränderung und Beziehungen gefunden werden kann, erscheint die Annahme eines zweidimensionalen Modells (Mengen, Zahlen und Operationen, Veränderung und Beziehungen und Raum und Form) auch theoretisch nicht sinnvoll. Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass sich bereits im Vorschulalter verschiedene Dimensionen mathematischer Kompetenz differenziert erfassen lassen. Der in vielen Studien ausschließlich betrachtete Bereich Mengen, Zahlen und Operationen bildet dabei nur eine von mehreren Dimensionen, wobei allerdings hohe Korrelationen zwischen den Dimensionen zu beobachten sind (vgl. Tab. 2). 212 Anne-Katrin Jordan et al. Struktureller Zusammenhang zwischen mathematischer Kompetenz und Arbeitsgedächtniskapazität Nach der strukturellen Untersuchung der erfassten mathematischen Kompetenz geht es im Folgenden um den Zusammenhang mit dem bzw. die Abgrenzung zum Arbeitsgedächtnis. Es werden drei Modelle gegenübergestellt (vgl. Abb. 1): das Modell 1 (Generalfaktor-Modell), bei dem die drei latenten Indikatoren für die drei mathematischen Kompetenzdimensionen und die Indikatoren für die Arbeitsgedächtniskapazität auf einem Faktor laden und das somit nicht zwischen mathematischer Kompetenz und der Arbeitsgedächtniskapazität differenziert, das Modell 2 mit zwei korrelierten Faktoren, in dem alle Indikatoren der Arbeitsgedächtniskapazität dem ersten Faktor und die latenten Indikatoren für die drei mathematischen Kompetenzdimensionen einem zweiten Faktor zugeordnet sind, wobei die zwei Faktoren korreliert sind (Zweifaktorenmodell), und schließlich das Modell 3, ein Nested-Faktormodell mit zwei unkorrelierten Faktoren, wobei alle Indikatoren auf dem ersten (General-)Faktor und die drei latenten Indikatoren der drei mathematischen Kompetenzdimensionen zusätzlich auf einem zweiten Faktor laden, den man als um den Generalfaktor bereinigte mathematische Kompetenz auffassen kann. Der Modellvergleich in Abbildung 1 zeigt, dass alle Modelle zufriedenstellende Fitindizes aufweisen und sich kaum voneinander unterscheiden (Hu & Bentler, 1999). Entsprechend können keine starken Hinweise auf das beste Modell abgeleitet werden. Die beiden Faktoren im Zweifaktorenmodell weisen eine relativ hohe Korrelation auf (.60), die aber dennoch deutlich von 1 verschieden ist. Daher wird das Zweifaktormodell gegenüber dem Generalfaktormodell favorisiert. Da das g-Faktormodell im Nested-Faktormodell genestet ist, wurde zusätzlich ein c ²-Differenzentest berechnet, der jedoch keine signifikanten Unterschiede aufwies. Zieht man zur Beurteilung der Modellpassung weiterhin die Faktorladungen hinzu, fällt auf, dass insbesondere die Faktorladung für die non-verbale Skala des K-ABC (2) sehr gering ist. Differenzieller Einfluss der Arbeitsgedächtniskapazität auf die mathematischen Kompetenzdimensionen Die letzte Forschungsfrage beschäftigt sich damit, welche Anteile der Varianz innerhalb der drei mathematischen Kompetenzdimensionen Anzahl der Dimensionen Anzahl der Modellparameter CFI TLI RMSEA N c 2 / df / p 1 2 3 25 27 30 .906 .942 .949 0.906 0.942 0.948 0.056 0.044 0.041 207 207 207 450.89 / 275 / < .001 381.467 / 273 / < .001 365.209 / 270 / < .001 Tab. 1: Fitindizes für drei Modelle zur Beschreibung mathematischer Kompetenzen Anmerkung: Die Schätzung erfolgte mit dem WLSMV-Schätzer. Mengen, Zahlen und Operationen (MZO) Veränderung und Beziehung (VB) Raum und Form (RF) MZO (N = 15)* VB (N = 4) RF (N = 7) 1 0.060 0.066 0.844 1 0.075 0.810 0.967 1 Omega-Reliabilität 0.942 0.802 0.767 Tab. 2: Korrelationen zwischen den drei latenten Dimensionen sowie Reliabilitätsmaße und Standardfehler Anmerkung: * Das N steht hier für die Anzahl der Items. Mehr als numerische Basiskompetenzen? 213 Abb. 1: Vergleich dreier Modelle zur Struktur von mathematischer Kompetenz und Arbeitsgedächtnis. Modell 1: Generalfaktorenmodell Modell 2: Mathematische Kompetenz und Arbeitsgedächtniskapazität als zwei korrelierte Faktoren Modell 3: Nested-Faktormodell CFI = 0.94; RMSEA = .041; c 2 (339, N = 207) = 459.47, p < .01 Non- Verbale Skala des K-ABC (2) Phonologische Schleife Non- Verbale Skala des K-ABC (1) Veränderung und Beziehungen Raum und Form Mengen, Zahlen, Operationen g .99 .94 .86 .38 .31 .16 Mathematische Kompetenz Arbeitsgedächtnis CFI = 0.94; RMSEA = .042; c 2 (342, N = 207) = 466.21, p < .01 Non- Verbale Skala des K-ABC (2) Phonologische Schleife Non- Verbale Skala des K-ABC (1) Non- Verbale Skala des K-ABC (2) Phonologische Schleife Non- Verbale Skala des K-ABC (1) Veränderung und Beziehungen Raum und Form Mengen, Zahlen, Operationen Veränderung und Beziehungen Raum und Form Mengen, Zahlen, Operationen Mathematische Kompetenz g .86 .83 .65 .51 .50 .56 .59 .50 .26 .99 .94 .86 .61 .49 .26 .60 CFI = 0.94; RMSEA = .041; c 2 (341, N = 207) = 460.90, p < .01 214 Anne-Katrin Jordan et al. sich durch die Arbeitsgedächtniskapazität, durch globale mathematische Kompetenz bzw. durch inhaltsspezifische mathematische Kompetenz aufklären lassen. Zur Beantwortung dieser Frage eignet sich am besten das Nested-Faktormodell (Modell 3 in Abb. 1). Da dieses gute Modellfitindizes aufweist, kann es für die weiteren Analysen verwendet werden. Als Anteile erklärter Varianz werden jeweils die quadrierten standardisierten Faktorladungen aus dem Modell herangezogen. Vergleicht man in Abbildung 2 die drei Kompetenzdimensionen, so klärt die Arbeitsgedächtniskapazität in der Dimension Mengen, Zahlen und Operationen mit 31,2 % deutlich mehr Varianz auf als in den anderen beiden Dimensionen (25,8 % bzw. 24,6 %). Außerdem zeigt sich, dass bereits in diesem Altersbereich wesentliche Varianzanteile (41,7 - 73,8 %) der drei Kompetenzdimensionen auf einen globalen mathematischen Kompetenzfaktor zurückgeführt werden können. Diskussion und Ausblick Das Ziel unserer Analyse war die Untersuchung der Struktur mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern. Während es für Schülerinnen und Schüler der Primar- und Sekundarstufe bereits empirische Evidenz für eine mehrdimensionale Struktur mathematischer Kompetenz gibt (vgl. Brunner, 2006; Winkelmann et al., 2012), liegen für das Kindergartenalter diesbezüglich nur theoretische Annahmen vor (vgl. Clements & Sarama, 2007; Ehmke et al., 2009). Die bisherige Forschung zur Entwicklung mathematischer Kompetenz im Vorschulalter fokussierte hauptsächlich den Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen, für den empirisch gestützte Entwicklungsmodelle hergeleitet wurden (vgl. Schneider et al., 2013). Vor dem Hintergrund der age differentiation hypothesis sowie der Tatsache, dass im Kindergarten keine systematischen und nach mathematischen Inhaltsbereichen differenzierten Lerngelegenheiten vorgesehen sind, kann infrage gestellt werden, ob bereits im Kindergartenalter eine Ausdifferenzierung mathematischer Kompetenz erwartet werden kann. Unsere Analysen eines vorhandenen Datensatzes von dreibis fünfjährigen Kindergartenkindern (Durchschnittsalter 4 Jahre) stützen im Grundsatz die Annahme, dass die mathematische Kompetenz bereits bei vergleichsweise jungen Kindergartenkindern mehrdimensional beschrieben und erfasst werden kann. Auch wenn die statistischen Ergebnisse die im Test angenommene dreidimensionale Struktur nicht in der gewünschten Eindeutigkeit nachweisen, so geben sie deutliche Hinweise auf die Existenz von mehr als nur einer Kompetenzdimension (vgl. Tab. 1). Nimmt man die weiteren Analysen unter Beachtung der Arbeitsgedächtniskapazität hinzu, so geben die Befunde über die Varianzanteile in Abbildung 2 zusätzliche Hinweise auf Unterschiede zwischen den Kompetenzdimensionen sowie auf die Tatsache, dass die einzelnen mathematischen Kompetenzdimensionen jeweils substanzielle mathematikspezifische Anteile enthalten und nicht allein durch Arbeitsgedächtniskapazität erklärt werden. Ebenso lässt sich die Annahme stützen, dass die bei- 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % Mengen, Zahlen, Veränderung Raum Operationen und Beziehung und Form (inhalts)spezifische mathematische Kompetenz globale mathematische Kompetenz Arbeitsgedächtniskompetenz 27,0% 41,7% 31,2% 0,4% 73,8% 25,8% 7,0% 68,4% 24,6% Abb. 2: Varianzzerlegung der drei Kompetenzdimensionen. Mehr als numerische Basiskompetenzen? 215 den Gesamtkonstrukte mathematische Kompetenz und Arbeitsgedächtniskapazität empirisch trennbar sind (vgl. Abb. 1). Die Ergebnisse unserer Strukturanalyse bedeuten für die Forschung im Elementarbereich insbesondere, dass je nach Fragestellung die bisher ausschließliche Betrachtung des zentralen Bereichs Mengen, Zahlen und Operationen als valider Indikator mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern womöglich nicht mehr ausreicht. Diesbezüglich hatten bereits Clements et al. (2008) ein Erhebungsinstrument für das Kindergartenalter entwickelt, das sich auf mehrere mathematische Inhaltsbereiche bezieht und dem sie aus theoretischer Sicht eine höhere Inhaltsvalidität zusprechen. Kompetenzstrukturanalysen wurden von Clements et al. (2008) in diesem Zusammenhang allerdings nicht berichtet, da ihr Ziel die Entwicklung eines eindimensionalen Tests für Veränderungsmessungen im Kindergartenalter war. Unseres Wissens liegen derzeit keine Kompetenzstrukturanalysen im Sinne von Brunner (2006) oder Winkelmann et al. (2012) vor. Betrachtet man die Ergebnisse unserer Analysen im Detail, so ist auf Basis der üblichen Informationskriterien keine deutliche Präferenz für das zweidimensionale oder das erwartete dreidimensionale Modell abzuleiten (vgl. Tab. 1). Die Korrelation zwischen den Bereichen Veränderung und Beziehungen und Raum und Form ist in dem vorliegenden Datensatz überraschend hoch (vgl. Tab. 2). Dies kann möglicherweise auf die Operationalisierung der beiden Bereiche in dem Test für die junge Stichprobe (Durchschnittsalter 4 Jahre) zurückzuführen sein: Die wenigen Items aus diesen Bereichen (vier bzw. sieben) versuchen, verschiedene Aspekte der Inhaltsbereiche abzudecken, sodass die Bereiche jeweils nicht so homogen erfasst werden können wie der in dieser Altersgruppe zentrale Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen. Ein damit indirekt zusammenhängender Erklärungsansatz ist, dass es für die Bereiche Veränderung und Beziehungen und Raum und Form noch keine systematischen und kumulativ wirkenden Lerngelegenheiten im Kindergarten bzw. auch im Alltagsleben der Kinder gibt, wie es beim Inhaltsbereich Mengen, Zahlen und Operationen für diese junge Altersgruppe der Fall ist. Entsprechend können sich diese Inhaltsbereiche auch noch nicht so stark in homogene inhaltsspezifische Kompetenzdimensionen ausbilden, sodass es einen stärkeren Einfluss einer globalen, um die Arbeitsgedächtniskapazität bereinigten mathematischen Kompetenz gibt (vgl. Abb. 1). Für beide Erklärungsansätze stellt sich an dieser Stelle folglich die Frage, ob sich die einzelnen Kompetenzdimensionen bei älteren Kindergartenkindern mit einem altersangepassten Itempool deutlicher trennen lassen. Weitere Analysen auf Basis des Nested-Faktor Modells deuten auf Anteile zwischen 25 % und 31 % der Varianz in den mathematischen Kompetenzdimensionen hin, die durch die Arbeitsgedächtniskapazität aufgeklärt wird. Der hohe Einfluss der Arbeitsgedächtniskapazität auf die Kompetenzdimension Mengen, Zahlen und Operationen ist dabei konsistent mit den oben berichteten Befunden anderer Studien. Eine mögliche Erklärung dafür, dass die Arbeitsgedächtniskapazität hier mehr aufklärt als in den Dimensionen Raum und Form und Veränderung und Beziehungen wäre, dass die Anforderungen im Bereich Mengen, Zahlen und Operationen (Zahlwortreihen, Mengen erfassen etc.) mehr Arbeitsgedächtniskapazität erfordern als die Anforderungen in den anderen Inhaltsbereichen. Ein anderer Erklärungsansatz wäre, dass die Kinder aufgrund der größeren Alltagsbedeutung im Bereich Mengen, Zahlen und Operationen zeitlich umfangreichere und inhaltlich anspruchsvollere Lerngelegenheiten wahrnehmen konnten als in den anderen Inhaltsbereichen und das Arbeitsgedächtnis entscheidend zu dem kumulativen Kompetenzaufbau beigetragen hat (Krajewski & Schneider, 2009). Zusammenfassend konnte gezeigt werden, dass auch im Elementarbereich mathematische Kompetenz als mehrdimensionales Konstrukt durch Testitems abgebildet und gemessen werden kann. Im Hinblick auf die Bedeutung mathematischer Kompetenz von Kindergartenkindern für die weitere Kompetenzentwicklung 216 Anne-Katrin Jordan et al. im Verlauf der Schulzeit ist von Interesse, welche prädiktive Kraft diejenigen Kompetenzdimensionen haben, die sich von der bisher betrachteten Dimension Mengen, Zahlen und Operationen trennen lassen. Sollte sich eine substanzielle prädiktive Wirkung dieser Kompetenzdimensionen ergeben, würde es nahe liegen, spezifische Lerngelegenheiten zu diesen Inhaltsbereichen im Kindergarten anzustreben. Literatur Anders, Y. & Roßbach, H.-G. (2013). Frühkindliche Bildungsforschung in Deutschland. In M. Stamm, & D. Edelmann (Hrsg.). Handbuch Frühkindliche Bildungsforschung (S. 183 - 195). Wiesbaden: Springer Fachmedien. http: / / dx.doi.org/ 10.1007/ 978-3-531-19066- 2_13 Aunola, K., Leskinen, E., Lerkkanen, M.-K. & Nurmi, J. E. (2004). Developmental dynamics of math performance from preschool to grade 2. Journal of Educational Psychology, 96, 699 - 713. http: / / dx.doi.org/ 10.1037/ 0022- 0663.96.4.699 Baddeley, A. D. (2000). The episodic buffer: A new component of working memory? Trends in Cognitive Science, 4, 417 - 423. http: / / dx.doi.org/ 10.1016/ S1364-6613 (00)01538-2 Baddeley, A. D. & Hitch, G. (1974). Working memory. In G. H. Bower (Ed.), The psychology of learning and motivation: Advances in research and theory (Vol. 2, pp. 89 - 195). New York, NY: Academic Press. Beauducel, A. & Herzberg, Y. (2006). On the performance of maximum likelihood versus means and variance adjusted weighted least squares estimation in CFA. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 13, 186 - 203. http: / / dx.doi.org/ 10.1207/ s15328007 sem1302_2 Benz, C., Peter-Koop, A. & Grüßing, M. (2014). Frühe mathematische Bildung. Heidelberg: Springer Spektrum. Brunner, M. (2006). Mathematische Schülerleistung. Struktur, Schulformunterschiede und Validität. Dissertation, Humboldt-Universität Berlin. Bull, R., Espy, K. A. & Wiebe, S. (2008). Short-term memory, working memory and executive functioning in preschoolers: Longitudinal predictors of mathematics achievement at age 7. Developmental Neuropsychology, 33, 205 - 228. http: / / dx.doi.org/ 10.1080/ 875656408 01982312 Catell, R. B., Weiß, R. H. & Osterland, C. (1997). Grundintelligenztest, Skala 1 (CFT 1) (5., revidierte Aufl.). Göttingen: Hogrefe. Clements, D. H. & Conference Working Group. (2004). Part one: Major themes and recommenda-tions. In D. H. Clements, J. Sarama & A.-M. DiBiase (Eds.), Engaging young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education (pp. 1 - 72). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Clements, D. H. & Sarama, J. (2007). Early childhood mathematics leaming. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 461 - 555). New York, NY: Information Age Publishing. Clements, D. H., Sarama, J. & Liu, X. H. (2008). Development of a measure of early mathematics achievement using the Rasch model: The research based early maths assessment. Educational Psychology: An International Journal of Experimental Educational Psychology, 28, 457 - 482. http: / / dx.doi.org/ 10.1080/ 014434107 01777272 Dornheim, D. (2008). Prädiktion von Rechenleistung und Rechenschwäche: Der Beitrag von Zahlen-Vorwissen und allgemein-kognitiven Fähigkeiten. Frankfurt a. M.: Lang. Ehmke, T., Duchhardt, C., Geiser, H., Grüßing, M., Heinze, A. & Marschick, F. (2009). Kompetenzentwicklung über die Lebensspanne - Erhebung von mathematischer Kompetenz im Nationalen Bildungspanel. In A. Heinze & M. Grüßing (Hrsg.), Mathematiklernen vom Kindergarten bis zum Studium: Kontinuität und Kohärenz als Herausforderung für den Mathematikunterricht (S. 313 - 327). Münster: Waxmann. Fischbach, A., Preßler, A. L. & Hasselhorn, M. (2012). Die prognostische Validität der AGTB 5 - 12 für den Erwerb von Schriftsprache und Mathematik. In M. Hasselhorn & C. Zoelch (Hrsg.), Funktionsdiagnostik des Arbeitsgedächtnisses. Tests und Trends (Jahrbuch der pädagogisch-psychologischen Diagnostik, Tests und Trends, Neue Folge Bd. 10, S. 37 - 58) Göttingen: Hogrefe. Grimm, H. (2010). Sprachentwicklungstest für dreibis fünfjährige Kinder (SETK 3 - 5). Göttingen: Hogrefe. Grube, D. (2006). Entwicklung des Rechnens im Grundschulalter: Basale Fertigkeiten, Wissensabruf und Arbeitsgedächtniseinflüsse. Münster: Waxmann. Grube, D. & Barth, U. (2004). Rechenleistung bei Grundschülern: Zur Rolle von Arbeitsgedächtnis und basalem Faktenwissen. Zeitschrift für Pädagogische Psychologie, 18, 245 - 248. http: / / dx.doi.org/ 10.1024/ 1010- 0652.18.34.245 Grüßing, M., Heinze, A., Duchhardt, C., Ehmke, T., Knopp, E. & Neumann, I. (2013). KiKi - Kieler Kindergartentest Mathematik zur Erfassung mathematischer Kompetenz von vierbis sechsjährigen Kindern im Vorschulalter. In M. Hasselhorn, A. Heinze, W. Schneider & U. Trautwein (Hrsg.), Diagnostik mathematischer Kompetenzen (Jahrbuch der pädagogischpsychologischen Diagnostik, Tests und Trends, 1. Aufl., S. 67 - 80). Göttingen: Hogrefe. Hu, L. & Bentler, P. M. (1999). Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives. Structural Equation Modeling, 6, 1 - 55. http: / / dx.doi.org/ 10.1080/ 107055 19909540118 Jordan, N. C., Kaplan, D., Ramineni, C. & Locuniak, M. N. (2009). Early math matters: Kindergarten number competence and later mathematics outcomes. Developmental Psychology, 45, 850 - 867. http: / / dx.doi.org/ 10. 1037/ a0014939 Jungmann, T., Koch, K., Schmidt, A., Schulz, A., Stockheim, D., Thomas, A.,… Etzien, M. (2012). Implementation und Evaluation eines Konzepts zur alltagsintegrierten Förderung aller Kinder zur Prävention sonderpädagogischen Förderbedarfs - Zwischenbericht 2012. Zugriff am 28. 2. 2014 unter http: / / www.sopaed.unirostock.de/ fileadmin/ Isoheilp/ KOMPASS/ Zwischen bericht_2012.pdf Krajewski, K., Liehm, S. & Schneider, W. (2004). Deutscher Mathematiktest für zweite Klassen (DEMAT 2+). Göttingen: Hogrefe. Mehr als numerische Basiskompetenzen? 217 Krajewski, K. & Schneider, W. (2006). Mathematische Vorläuferfertigkeiten im Vorschulalter und ihre Vorhersagekraft für die Mathematikleistungen bis zum Ende der Grundschulzeit. Psychologie in Erziehung und Unterricht, 53, 246 - 262. Krajewski, K. & Schneider, W. (2009). Exploring the impact of phonological awareness, visual-spatial working memory, and preschool quantity-number competencies on mathematics achievement in elementary school: Findings from a 3-year longitudinal study. Journal of Experimental Child Psychology, 103, 516 - 531. http: / / dx.doi.org/ 10.1016/ j.jecp.2009.03.009 Krajewski, K., Schneider, W. & Nieding, G. (2008). Zur Bedeutung von Arbeitsgedächtnis, Intelligenz, phonologischer Bewusstheit und früher Mengen-Zahlen- Kompetenz beim Übergang von Kindergarten in die Grundschule. Psychologie in Erziehung und Unterricht, 55, 118 - 131. Kultusministerkonferenz. (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Veröffentlichungen der Kultusministerkonferenz. München: Luchterhand. Lee, K., Ng, S.-F., Ng, E.-L. & Lim, Z.-Y. (2004). Working memory and literacy as predictors of performance on algebraic word problems. Journal of Experimental Child Psychology, 89, 140 - 158. http: / / dx.doi.org/ 10.1016/ j. jecp.2004.07.001 Li, S.-C, Lindenberger, U., Hommel, B., Aschersleben, G., Prinz, W. & Baltes, P. B. (2004). Transformations in the couplings among intellectual abilities and constituent cognitive processes across the life span. Psychological Science, 15, 155 - 163. http: / / dx.doi.org/ 10.1111/ j.0956-7976.2004.01503003.x Melchers, P. & Preuß, U. (2009). Kaufman assessment battery for children (deutsche Version, 8., unveränderte Aufl.). Frankfurt a. M.: Pearson Assessment. Muthén, L. & Muthén, B. (2014). Mplus Version 7.2. Zugriff unter http: / / www.statmodel.com National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Oberauer, K. (2002). Access to information in working memory: Exploring the focus of attention. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 28, 411-421. http: / / dx.doi.org/ 10.1037/ 0278-73 93.28.3.411 Oberauer, K., Schulze, R., Wilhelm, O. & Su, H.-M. (2005). Working memory and intelligence - Their correlation and their relation: Comment on Ackerman, Beier, and Boyle (2005). Psychological Bulletin, 131, 61 - 65. http: / / dx.doi.org/ 10.1037/ 0033-2909.131.1.61 Organisation for Economic Co-operation and Development. (2012). PISA 2012 assessment and analytical framework: Mathematics, reading, science, problem solving and financial literacy. Paris: OECD Publishing. Ricken, G., Fritz-Stratmann, A. & Balzer, L. (2012). Mathematik- und Rechenkonzepte im Vorschulalter - Diagnose (MARKO-D). Göttingen: Hogrefe. Salonen, P., Lepola, J., Vauras, M., Rauhanummi,T., Lehtinen, E. & Kinnunen, R. (1994). Diagnostiset testit 3. Motivaatio, Metakognitio ja Matematiikka [Diagnostic tests 3: Motivation, metacognition and mathematics].Turku: Center for Learning Research, University of Turku. Schmid, I. (2011). Arbeitsgedächtnis und Schulleistungen in Mathematik und Schriftsprache bei älteren Grundschülern. Dissertation, Universität Göttingen. Zugriff am 3. 1. 2014 unter http: / / hdl.handle.net/ 11858/ 00-17 35-0000-0006-AE34-E Schneider, W., Küspert, P. & Krajewski, K. (2013). Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Paderborn: Schöningh. Tucker-Drob, E. M. (2009). Differentiation of cognitive abilities across the life span. Developmental Psychology, 45, 1097 - 1118. http: / / dx.doi.org/ 10.1037/ a0015864 Van Luit, J. E. H., van de Rijt, B. A. M. & Hasemann, K. (2001). Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung. Göttingen: Hogrefe. von Aster, M., Bzufka, M. W., Horn, R. R., Zulauf, M. W. & Schweiter, M. (2009). ZAREKI-K. Neuropsychologische Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen bei Kindern - Kindergartenversion. Frankfurt a. M.: Pearson. Winkelmann, H., Robitzsch, A., Stanat, P. & Köller, O. (2012). Mathematische Kompetenzen in der Grundschule: Struktur, Validierung und Zusammenspiel mit allgemeinen kognitiven Fähigkeiten. Diagnostica, 58, 15 - 30. http: / / dx.doi.org/ 10.1026/ 0012-1924/ a000 061 Zinbarg, R. E., Revelle, W., Yovel, I. & Li, W. (2005). Cronbach’s alpha, Revelle’s beta, and McDonald’s omega h: Their relations with each other and two alternative conceptualizations of reliability. Psychometrika, 70, 123 - 133. http: / / dx.doi.org/ 10.1007/ s11336-003-0974-7 Zinbarg, R. E., Yovel, I., Revelle, W. & McDonald, R. P. (2006). Estimating generalizability to a latent variable common to all of a scale’s indicators: A comparison of estimators for w h . Applied Psychological Measurement, 30, 121 - 144. http: / / dx.doi.org/ 10.1177/ 014662160 5278814 Dr. Anne-Katrin Jordan Dr. Christoph Duchhardt Prof. Dr. Aiso Heinze Timo Tresp Dr. Meike Grüßing Dr. Eva Knopp Leibniz-Institut für die Pädagogik der Naturwissenschaften und Mathematik an der Universität Kiel Abteilung Mathematikdidaktik Olshausenstraße 62 D-24098 Kiel E-Mail: jordan@ipn.uni-kiel.de