eJournals Psychologie in Erziehung und Unterricht 63/1

Psychologie in Erziehung und Unterricht
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0342-183X
Ernst Reinhardt Verlag, GmbH & Co. KG München
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2016
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Longitudinale Zusammenhänge zwischen sprachlichen Kompetenzen und elementaren mathematischen Modellierungskompetenzen bei Kindern mit Deutsch als Zweitsprache

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2016
Jennifer Paetsch
Anja Felbrich
Als wesentlicher Erklärungsfaktor für die geringeren mathematischen Leistungen von Zweitsprachenlernenden werden häufig ihre schwachen sprachlichen Kompetenzen in der Instruktionssprache angenommen. Insbesondere für die Bearbeitung von mathematischen Modellierungsaufgaben sind ausreichende sprachliche Kompetenzen erforderlich. In der vorliegenden Studie wurden die longitudinalen Zusammenhänge zwischen Sprachkompetenz und elementarer mathematischer Modellierungskompetenz von Grundschulkindern mit Deutsch als Zweitsprache anhand einer Latent-Change-Modellierung untersucht. In einer Stichprobe von 370 Drittklässlern mit Deutsch als Zweitsprache zeigte sich nicht nur für das Leseverstehen, sondern darüber hinaus auch für die Grammatikkompetenz ein Zusammenhang mit der mathematischen Modellierungskompetenz. Während die sprachlichen Kompetenzen zu Beginn der Untersuchung keinen bedeutsamen Beitrag bei der Erklärung der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz im Verlauf der dritten Jahrgangsstufe leisteten, sind die Veränderungen des Leseverständnisses und die Veränderungen in der Grammatikkompetenz erwartungskonform positiv mit der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz assoziiert.
3_063_2016_001_0016
n Empirische Arbeit Psychologie in Erziehung und Unterricht, 2016, 63, 16 -33 DOI 10.2378/ peu2016.art03d © Ernst Reinhardt Verlag München Basel Die Ergebnisse nationaler und internationaler Schulleistungsstudien belegen einheitlich, dass Kinder und Jugendliche aus zugewanderten Familien ein deutlich geringeres Kompetenzniveau in Mathematik erreichen als Schülerinnen und Schüler ohne Zuwanderungshintergrund (z. B. Pöhlmann, Haag & Stanat, 2013; Tarelli, Schwippert & Stubbe, 2012). Da Lernende, deren Fa- Das diesem Bericht zugrunde liegende Vorhaben wurde mit Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forschung unter den Förderkennzeichen 01GJ0906 (Freie Universität Berlin) und 01GJ0907 (Pädagogische Hochschule Karlsruhe) gefördert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt bei den Autorinnen. Longitudinale Zusammenhänge zwischen sprachlichen Kompetenzen und elementaren mathematischen Modellierungskompetenzen bei Kindern mit Deutsch als Zweitsprache Jennifer Paetsch, Anja Felbrich Humboldt-Universität Berlin Zusammenfassung: Als wesentlicher Erklärungsfaktor für die geringeren mathematischen Leistungen von Zweitsprachenlernenden werden häufig ihre schwachen sprachlichen Kompetenzen in der Instruktionssprache angenommen. Insbesondere für die Bearbeitung von mathematischen Modellierungsaufgaben sind ausreichende sprachliche Kompetenzen erforderlich. In der vorliegenden Studie wurden die longitudinalen Zusammenhänge zwischen Sprachkompetenz und elementarer mathematischer Modellierungskompetenz von Grundschulkindern mit Deutsch als Zweitsprache anhand einer Latent-Change-Modellierung untersucht. In einer Stichprobe von 370 Drittklässlern mit Deutsch als Zweitsprache zeigte sich nicht nur für das Leseverstehen, sondern darüber hinaus auch für die Grammatikkompetenz ein Zusammenhang mit der mathematischen Modellierungskompetenz. Während die sprachlichen Kompetenzen zu Beginn der Untersuchung keinen bedeutsamen Beitrag bei der Erklärung der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz im Verlauf der dritten Jahrgangsstufe leisteten, sind die Veränderungen des Leseverständnisses und die Veränderungen in der Grammatikkompetenz erwartungskonform positiv mit der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz assoziiert. Schlüsselbegriffe: Mathematikkompetenzen, sprachliche Kompetenzen, Deutsch als Zweitsprache, Modellierungskompetenz, Textaufgaben Developmental Relations Between Second Language Proficiency and Word Problem Solving Summary: Weak language skills in the language of instruction are assumed to be a key factor contributing to the lower mathematics competencies of immigrant students. This study applied latent change modeling to investigate the interrelationships between language skills and the ability to solve mathematical word problems of second language learners. Participants included 370 students from immigrant families who were assessed from the beginning to the end of grade 3. The results show that not only reading comprehension, but also grammar proficiency is linked to mathematical word problem solving. Moreover, findings suggest that changes in second language proficiency were significantly correlated with changes in mathematical word problem solving. Keywords: Mathematical development, elementary school, language skills, German as a second language, word problem solving Sprach- und Modellierungskompetenz 17 miliensprache nicht der Instruktionssprache entspricht 1 , häufig über eingeschränkte Sprachkompetenzen verfügen (z. B. Schwippert, Wendt & Tarelli, 2012), wird angenommen, dass die sprachlichen Anforderungen des Mathematikunterrichts für sie eine Hürde beim Erlernen der Fachinhalte darstellen. Der Kompetenznachteil in Mathematik von Schülerinnen und Schülern mit Zuwanderungshintergrund wird deshalb u. a. auch auf die unzureichende Beherrschung der Instruktionssprache dieser Lernenden zurückgeführt (z. B. Stanat, 2006). Insbesondere für die Bearbeitung von mathematischen Modellierungsaufgaben, die den Lernenden in Textform präsentiert werden (sog. Textbzw. Sachaufgaben), sind ausreichende sprachliche Kompetenzen erforderlich. Eine solche Aufgabe kann nur gelöst werden, wenn die Lernenden einerseits in der Lage sind, den im Text beschriebenen Sachverhalt zu lesen und zu verstehen und wenn sie andererseits - in der überwiegend auf Sprache basierenden Unterrichtssituation - das zur Lösung notwendige mathematische Wissen erlangt haben. So zeigen Heinze, Herwartz-Emden und Reiss (2007), dass die Leistungsunterschiede zwischen Kindern mit und ohne Zuwanderungshintergrund bei der Lösung von Textaufgaben besonders groß ausfallen und dass diese Unterschiede durch die sprachlichen Kompetenzen der Kinder erklärt werden können. Zwar liegen zahlreiche empirische Studien vor, die den Zusammenhang zwischen Sprachkompetenz und mathematischer Modellierungskompetenz belegen (z. B. Fuchs et al., 2006), Zusammenhänge zwischen den Entwicklungsverläufen der Kompetenzen wurden bislang jedoch nicht überprüft. Um Zweitsprachenlernende bei der Bewältigung sprachlicher Anforderungen gezielt unterstützen zu können, stellt sich zudem die Frage, welche sprachlichen Teil kompetenzen im Rahmen der mathematischen Kompetenzentwicklung von besonderer Bedeutung sind. Der vorliegende Beitrag knüpft an diese Forschungslücke an und untersucht die längsschnittlichen Zusammenhänge zwischen den Sprachkompetenzen in den Bereichen Lesen und Grammatik und der mathematischen Modellierungskompetenz bei Kindern mit Deutsch als Zweitsprache. Theoretischer Hintergrund Sprachliche Anforderungen mathematischer Modellierungsaufgaben In den letzten Jahren wird in der mathematikdidaktischen Diskussion verstärkt die Notwendigkeit betont, realitätsbezogene Fragestellungen stärker in den Mathematikunterricht zu integrieren (z. B. Blum, 2010). In diesem Zusammenhang ist mathematisches Modellieren 2 zu einem zentralen Gegenstand des Mathematikunterrichtes geworden (Borromeo Ferri, Greefrath & Kaiser, 2013). Bereits in der Grundschule erfolgt die Förderung der mathematischen Modellierungsfähigkeit durch den Einsatz von Sach- und Textaufgaben (sog. elementares Modellieren; vgl. Schwarzkopf, 2006). Ziel ist es dabei, die Kinder in die Lage zu versetzen, relevante Informationen aus mathematischen Texten und Darstellungen zu entnehmen, beschriebene Problemstellungen als mathematisches Problem wahrzunehmen, daraus resultierende mathematische Aufgaben zu lösen und die Ergebnisse auf die beschriebene Ausgangssituation rückbeziehen zu können (Kultusministerkonferenz [KMK], 2004). Mathematische Modellierungskompetenz besteht demzufolge aus verschiedenen Teilkompetenzen und wird allgemein als Fähigkeit, zwischen Realität und Mathematik übersetzen zu können, definiert (z. B. Blum, 2010; Blum & Niss, 1991). Zur Beschreibung und Analyse der kognitiven Prozesse, die beim Lösen einer mathematischen Modellierungsaufgabe erforderlich sind, hat sich ein siebenschrittiger Modellierungskreislauf etabliert (z. B. Blum, 2010; Blum & 1 Im Weiteren werden diese Schülerinnen und Schüler auch als Zweitsprachenlernende bezeichnet. 2 Der Begriff Modellierung bezieht sich hier auf das mathematische Modellieren außermathematischer Situationen (Blum, 2010). Davon abzugrenzen ist das innermathematische Modellieren, das sich auf Übersetzungsprozesse innerhalb der Mathematik bezieht. 18 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich Borromeo Ferri, 2009). Im ersten Schritt wird auf Grundlage der in der Aufgabe enthaltenen Informationen ein mentales Modell der dargebotenen Situation konstruiert, um anschließend durch die Trennung von wichtigen und unwichtigen Informationen die Situation zu strukturieren und zu vereinfachen. Dieses Situationsmodell bildet dann die Grundlage für die Mathematisierung, d. h. es werden Verfahren gesucht, durch die sich die vereinfachte Situation mathematisch darstellen lässt und mit deren Hilfe eine Lösung ermittelt werden kann. Schließlich wird das gewonnene Ergebnis wieder auf das Situationsmodell bezogen und auf seine Angemessenheit überprüft. In einem letzten Schritt müssen die mit dem Situationsmodell generierten Erkenntnisse wieder auf die Realsituation bezogen werden, um zu überprüfen, ob sie tatsächlich eine Lösung für das ursprüngliche Problem darstellen. Anhand des beschriebenen Modellierungsprozesses wird deutlich, dass zur Lösung von Sach- und Textaufgaben Kompetenzen erforderlich sind, die über die Fähigkeit, eine Rechenoperation korrekt durchzuführen, hinausgehen (vgl. Verschaffel, Greer & de Corte, 2000). Belegt wird dies durch empirische Untersuchungen, die zeigen, dass diese Art von Aufgaben weniger gut gelöst wird als rechnerisch äquivalente, reine Rechenaufgaben ohne Texteinbettung (Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist & Reys, 1980). Die für Modellierungsaufgaben spezifische Herausforderung liegt demzufolge nicht in der Lösung der Rechenaufgabe, sondern in der Konstruktion eines adäquaten mentalen Modells der Situation und dessen Verknüpfung mit mathematischen Operationen (vgl. Verschaffel et al., 2000). So konnten Hegarty, Mayer und Monk (1995) zeigen, dass erfolgreiche Lernende sich später besser an die beschriebenen Zusammenhänge in der dargebotenen Aufgabe erinnern konnten, wohingegen sich weniger erfolgreiche Lernende besser an einzelne Wörter, die in der Aufgabe vorkamen, erinnerten. Die Autoren schließen daraus, dass die erfolgreiche Bearbeitung einer Textaufgabe eine aussagekräftige Repräsentation der Situation erfordert, während eine oberflächliche Orientierung an den im Text enthaltenen Schlüsselwörtern keine erfolgreiche Lösestrategie darstellt. Die Konstruktion eines adäquaten mentalen Situationsmodells auf der Basis des jeweiligen Textes ist also eine wichtige Voraussetzung dafür, die in einer Aufgabe beschriebenen Zusammenhänge zu erfassen und die für eine angemessene Aufgabenlösung relevanten Informationen auszuwählen. Für diesen Prozess werden nicht nur den mathematisch-logischen Kompetenzen (Riley, Greeno & Heller, 1983), sondern auch den sprachlichen Kompetenzen der Lernenden eine zentrale Rolle zugeschrieben (Cummins, Kintsch, Reusser & Weimer, 1988; Kintsch & Greeno, 1985; Schukajlow, 2013). Sprachliche Anforderungen von Modellierungsaufgaben können dabei zum einen durch semantische Merkmale der Aufgabe entstehen (vgl. Abedi & Lord, 2001). So benötigen Kinder zum Aufgabenverständnis ein gewisses Maß an Vorwissen und damit verknüpften Wortschatzkenntnissen im beschriebenen Kontext. Zum anderen werden sprachliche Anforderungen auch durch die syntaktische Struktur der Aufgabe erzeugt. So stellen etwa längere Texte und komplexere Satzstrukturen sprachliche Herausforderungen dar (vgl. ebd.), deren Bewältigung hinreichend ausgeprägte Kompetenzen in den Bereichen Lesen und Grammatik erfordern. Sprachkompetenz spielt für die erfolgreiche Bearbeitung von Sach- und Textaufgaben jedoch auch in anderer Hinsicht eine wichtige Rolle. Um die erforderlichen Rechenschritte zu erkennen, d. h. um ein dem Situationsmodell angemessenes mathematisches Modell konstruieren zu können, müssen die notwendigen mathematischen Grundvorstellungen aktiviert werden. Mathematische Grundvorstellungen sind Wissenselemente, die es den Lernenden ermöglichen zu entscheiden, welche mathematischen Inhalte oder Verfahren zu einer Situation bzw. Problemstellung passen. Wenn die mathematischen Grundvorstellungen nicht oder in nicht ausreichend abstrahiertem Maße Sprach- und Modellierungskompetenz 19 beherrscht werden, kann die jeweilige Aufgabe nicht gelöst werden (vgl. Riley & Greeno, 1988; Stern, 1998). Die schulischen Lehr-Lernprozesse, in denen die Grundvorstellungen entwickelt werden, basieren zu einem großen Teil auf sprachlicher Vermittlung und sprachlichen Interaktionsprozessen (z. B. Elbers & de Haan, 2005; Reusser, 2001). Artikulations- und Reflexionsphasen, die eine aktive Auseinandersetzung der Lernenden mit den mathematischen Inhalten ermöglichen und es ihnen erlauben, sich über Bedeutungen und Interpretationen auszutauschen, sind für den Erwerb mathematischer Grundvorstellungen besonders wichtig (vgl. Elbers & de Haan, 2005). Folglich spielen sprachliche Kompetenzen nicht nur beim Verstehen der Aufgabe, sondern auch bei der Ausbildung mathematischer Grundvorstellungen, die zum Lösen von Sach- und Textaufgaben notwendig sind, eine wichtige Rolle. Sprachkompetenz ist dabei als übergeordnetes Konstrukt zu verstehen, das als Befähigung zur Bewältigung von sprachlichen Anforderungen in unterschiedlichen Situationen definiert ist (Klieme, 2004) und verschiedene produktive und rezeptive Teilkompetenzen umfasst (Jude, 2008). Der Zusammenhang zwischen sprachlichen Kompetenzen und Modellierungsfähigkeiten wird durch die Ergebnisse zahlreicher empirischer Untersuchungen bestätigt, wobei sich die Studien im Hinblick auf die Operationalisierung von Sprachkompetenz stark unterscheiden (Boonen, van der Schoot, van Wesel, de Vries & Jolles, 2013; Fuchs et al., 2006; Jordan, Levine & Huttenlocher, 1995). Beispielsweise zeigten in der Untersuchung von Jordan et al. (1995) Kinder, deren Leistungen in sprachlichen Tests (erfasst wurden produktive Wortschatzkenntnisse mit einem Bildbenennungsverfahren und produktive Grammatikkompetenzen) unter dem 30. Perzentil lagen, signifikant geringere Leistungen beim Lösen von Textaufgaben als Kinder mit besseren sprachlichen Kompetenzen. Zudem wiesen diese Kinder eine vergleichsweise größere Diskrepanz zwischen ihren Rechenfertigkeiten und ihren Leistungen beim Lösen der Textaufgaben auf, sodass davon auszugehen ist, dass die Schwierigkeiten bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben nicht nur durch geringere Rechenfertigkeiten zu erklären sind. Dass arithmetische Fähigkeiten für das Lösen von Textaufgaben eine notwendige, jedoch keine hinreichende Voraussetzung sind, zeigen auch die Ergebnisse von Fuchs et al. (2006). Hier erwiesen sich sprachliche Fähigkeiten, operationalisiert als Konglomerat aus Wortschatz-, Grammatik- und Hörverstehensaufgaben 3 , unter Kontrolle der arithmetischen und der allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten als signifikanter Prädiktor für die Fähigkeit, Textaufgaben zu lösen. Es zeigte sich zudem in der Studie von Boonen et al. (2013), dass nicht nur Leseverständnis (auf Satz- und Textebene), sondern darüber hinaus auch die generelle Fähigkeit, auf Grundlage eines Textes Relationen korrekt herzustellen (sog. relational processing, z. B. x hat mehr als y), Varianz in den Leistungen bei Textaufgaben erklärt. Das Herstellen von Relationen erfordert dabei die korrekte Interpretation der im Text enthaltenen Bezüge, die sich aus den morpho-syntaktischen Strukturen (z. B. Relativpronomen, Präpositionen, Komparationen) ergeben. Es lässt sich deshalb aus den Ergebnissen von Boonen et al. (2013) ableiten, dass die Beherrschung grammatischer Strukturen bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben eine wichtige Rolle spielen könnte. Weiterhin konnte in der Studie von Kyttälä, Aunio, Lepola und Hautamäki (2014) gezeigt werden, dass Wortschatzkenntnisse nur indirekt (über das Hörverstehen) mit den Leistungen im Lösen von Textaufgaben zusammenhängen. In der Studie zeigte sich zudem, dass der Einfluss des Arbeitsgedächtnisses auf die Leistungen im Lösen von Textaufgaben vollständig von den sprachlichen Kompetenzen mediiert wird. 3 Die Wortschatzaufgaben setzen sich in dieser Studie aus produktiven Aufgaben und Aufgaben zum Wortwissen zusammen. Die Grammatikaufgaben bestanden aus Sätzen, die vervollständigt werden mussten. Das Hörverstehen wurde anhand von Sätzen und kurzen Abschnitten erfasst. 20 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich Die Ergebnisse longitudinaler Untersuchungen, die Anhaltspunkte zur kausalen Wirkrichtung des Zusammenhangs zwischen Sprachkompetenz und mathematischer Modellierungskompetenz liefern könnten, sind nicht eindeutig interpretierbar. So zeigte sich in der Studie von Shin, Davison, Long, Chan und Heistad (2013), dass Leseverständnis (auf Textebene) einen signifikanten Einfluss auf die Wachstumsraten (allgemeiner) mathematischer Kompetenz hatte. Auch in der Studie von Grimm (2008) erwies sich Leseverständnis (eingesetzt wurden Texte unterschiedlicher Textsorten, z. B. Fabeln, Märchen, Interviews, Poesie), unter Kontrolle des sozio-ökonomischen Status, als signifikanter Prädiktor der Wachstumsrate mathematischer Leistungen. Inwieweit die Ergebnisse von Shin et al. (2013) und Grimm (2008) auf mathematische Modellierungskompetenz (im Speziellen) übertragbar sind, bleibt jedoch unklar. Aufgrund fehlender Berücksichtigung der allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten als Kontrollvariable in beiden Studien ist die Interpretierbarkeit der gefundenen Zusammenhänge zudem beeinträchtigt. In der Längsschnittstudie von Ufer, Reiss und Mehringer (2013) war der Sprachstand 4 in der ersten Jahrgangsstufe, auch unter Kontrolle des sozioökonomischen Status und der kognitiven Grundfähigkeiten, ein signifikanter Prädiktor des Lernzuwachses bei mathematischen Aufgaben mit eher konzeptuell-inhaltlichen Anforderungen (was u. a. mathematisches Modellieren umfasste). Hingegen zeigte sich in der Studie von Tolar et al. (2012), unter Berücksichtigung der allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten, kein Effekt der Wortschatzkenntnisse (eingesetzt wurden produktive Aufgaben und Aufgaben zum Wortwissen) auf die Wachstumsraten mathematischer Modellierungskompetenz. Modellierungsaufgaben als Herausforderung für Zweitsprachenlernende Mathematische Sach- und Textaufgaben können verschiedene sprachliche Anforderungen umfassen, die für Zweitsprachenlernende besonders schwierig sein dürften. So wird etwa angenommen, dass der Gebrauch von Proformen, d. h. von Wörtern, die in einem Text auf etwas vorwärts oder rückwärts verweisen, wie beispielsweise dies oder so, Zweitsprachenlernenden das Verständnis der Aufgabe erschweren, da es ihnen oft Schwierigkeiten bereitet, die richtigen Bezüge herzustellen (Duarte, Gogolin & Kaiser, 2011). In der Literatur wird zudem die Verwendung von außerhalb des Mathematikunterrichtes eher selten genutzten Wörtern und grammatischen Strukturen als besondere sprachliche Herausforderungen für Zweitsprachenlernende hervorgehoben (z. B. Moschkovich, 2002; Rösch & Paetsch, 2011). So kann die Verwendung von Wörtern, deren Bedeutung den Lernenden unbekannt ist oder deren Bedeutung in Mathematik von ihrer Bedeutung im Alltag abweicht, zu erheblichen Verständnisproblemen führen (Moschkovich, 2002). Zudem zeigen Analysen von Sprachproben zum Lösungsvorgehen bei Modellierungsaufgaben, dass Zweitsprachenlernende die korrekten Bedeutungen von Präpositionen (z. B. unter, über), die in der Regel einen wichtigen Stellenwert für den Lösungsprozess haben, häufig nicht erkennen (Duarte et al., 2011). Dass die sprachliche Komplexität die Schwierigkeit einer mathematischen Textaufgabe insbesondere für Zweitsprachenlernende beeinflusst, belegen die Ergebnisse von Abedi und Lord (2001). In ihrer Studie führte die Reduktion der sprachlichen Komplexität von Textaufgaben im Hinblick auf Wortschatz und syntaktische Struktur zu besseren Leistungen, wobei in erster Linie Zweitsprachenlernende von der Aufgabenmodifikation profitierten. Anhand von Interviews mit Zweitsprachenlernenden fand Martiniello (2007) zudem Hinweise darauf, dass das Verständnis von Textaufgaben durch komplexe Sätze, wenig gebräuchlichen Wortschatz, lange Nominalphrasen und kulturbedingte Referenzen (z. B. kulturspezifisches Wissen) beeinträchtigt wird. 4 Eingesetzt wurde ein Verfahren zur Sprachstandsdiagnostik, das Aufgaben im Bereich Wortschatz, Präpositionen und Hörverstehen umfasst. Sprach- und Modellierungskompetenz 21 Um Zweitsprachenlernende bei der Bewältigung dieser vielfältigen sprachlichen Anforderungen gezielt unterstützen zu können, stellt sich die Frage, welche sprachlichen (Teil-)Kompetenzen beim Lösen von Modellierungsaufgaben erforderlich sind. Auf Grundlage der beschriebenen Anforderungen werden den rezeptiven Wortschatzkenntnissen (Moschkovich, 2002), dem Leseverständnis (Schukajlow, 2013) und den Grammatikkompetenzen (Duarte et al., 2011; Rösch & Paetsch, 2011) eine wichtige Funktion zugeschrieben. Das Leseverständnis auf Textebene, d. h. die Fähigkeit zur Kohärenzbildung (vgl. Christmann & Richter, 2006) sollte deshalb von hoher Relevanz sein, weil die Lösung von Modellierungsaufgaben ein integratives Verständnis des Textsinns voraussetzt. Die Grammatikkompetenz der Lernenden sollte zusätzlich von Bedeutung sein (vgl. Boonen et. al., 2013), weil beim Lesen eines Textes auf syntaktisch-morphologische Merkmale in der Regel nur zur Unterstützung des Aufbaus semantischer Strukturen zurückgegriffen wird (vgl. Christmann & Richter, 2006), jedoch zur erfolgreichen Bearbeitung von Modellierungsaufgaben diesen Strukturen eine zentrale Bedeutung zugeschrieben wird (da sie notwendige Informationen für eine adäquate Mathematisierung liefern, die nicht aus dem Kontext erschlossen werden können; vgl. Duarte et al., 2011; Rösch & Paetsch, 2011). Bislang liegen nur wenige empirische Befunde zum Stellenwert verschiedener sprachlicher Teilkompetenzen für mathematische Modellierungskompetenz vor. Um die Bedeutung einzelner sprachlicher Teilkompetenzen für die mathematische Modellierungskompetenz bestimmen zu können, sind Studien notwendig, in denen sie differenziert und simultan in den Analysen berücksichtigt werden. Die hierzu vorliegende Befundlage ist widersprüchlich. In einer Studie von Beal, Adams und Cohen (2010) erwies sich bei Zweitsprachenlernenden in der neunten Jahrgangsstufe lediglich das Leseverständnis, nicht jedoch das Hörverstehen, die mündliche Sprachkompetenz oder die Schreibkompetenz als signifikanter Prädiktor für das Lösen von Textaufgaben. Bei Kempert, Saalbach und Hardy (2011) war hingegen nur die mündliche Sprachkompetenz (erfasst über die Benennung von Bildern und das Bilden von Synonymen, Antonymen sowie Analogien) von Drittklässlern, die neben Deutsch zu Hause eine weitere Sprache sprechen, nicht jedoch das Leseverständnis (auf Wort-, Satz- und Textebene) ein signifikanter Prädiktor für die Leistungen bei Textaufgaben. Die Ergebnisse von Paetsch, Felbrich und Stanat (2015) wiesen darüber hinaus darauf hin, dass Leseverständnis, nicht jedoch Wortschatz- und Grammatikkenntnisse signifikant mit den Leistungen bei Textaufgaben von Zweitsprachenlernenden der dritten Jahrgangsstufe zusammenhängen. Verschiedene Faktoren, die mit Unterschieden in den Stichproben und den erfassten Kompetenzen der Studien zusammenhängen, könnten die widersprüchlichen Befunde erklären: Es wurden jeweils unterschiedliche sprachliche Teilkompetenzen erfasst und die untersuchten Stichproben unterschieden sich im Hinblick auf das Alter, die Zweitsprachen bzw. die Ausprägung der Zweitsprachkompetenzen der Lernenden. Vor dem Hintergrund, dass Zweitsprachenlernende durch den Schulbesuch sprachlichem Input in der Instruktionssprache ausgesetzt sind und häufig auch Sprachförderung erhalten (Stanat, Weirich & Radmann, 2012), ist davon auszugehen, dass ihre Zweitsprachkompetenzen einer erheblichen Dynamik unterliegen. Eine offene Forschungsfrage ist dabei bislang, wie die Entwicklung der Zweitsprachkompetenzen mit der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz zusammenhängt. Aufgrund der theoretischen Überlegungen wäre zu erwarten, dass sich eine Verbesserung der sprachlichen Kompetenzen positiv auf den Erwerb von mathematischen Modellierungskompetenzen auswirkt. Unterstützt wird diese Annahme durch die querschnittlichen Befunde von Bernardo (1999), der auf Grundlage von Fehleranalysen im Lösungsprozess von Textaufgaben an einer Stichprobe von Zweitsprachenlernenden zu dem Schluss kommt, dass die Leistungszu- 22 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich wächse zwischen der zweiten und vierten Jahrgangsstufe beim Lösen von Textaufgaben hauptsächlich auf den Zuwachs an Sprachkompetenz der Lernenden zurückzuführen ist. Bislang fehlt es allerdings an längsschnittlichen Untersuchungen, die nicht nur die Entwicklung mathematischer Modellierungskompetenz, sondern auch die Entwicklung sprachlicher Kompetenzen von Zweitsprachenlernenden berücksichtigen und somit Aussagen über die Zusammenhänge zwischen den Entwicklungsverläufen erlauben. Fragestellungen Ziel der vorliegenden Studie ist die Bestimmung längsschnittlicher Zusammenhänge zwischen sprachlichen Kompetenzen und elementaren mathematischen Modellierungskompetenzen von Grundschulkindern mit Deutsch als Zweitsprache. Dabei wird erwartet, dass sprachliche Kompetenzen einen signifikanten Beitrag zur Vorhersage der Entwicklung mathematischer Modellierungskompetenz leisten. Zudem wird der Frage nachgegangen, ob und inwieweit Veränderungen der sprachlichen Kompetenzen der Zweitsprachenlernenden mit Veränderungen in ihrer mathematischen Modellierungskompetenz einhergehen. Auf Grundlage der dargestellten theoretischen Überlegungen ist anzunehmen, dass nicht nur das Leseverständnis, sondern auch grammatische Kompetenz wichtige Prädiktoren sind. Im Einzelnen werden in der vorliegenden Studie folgende Hypothesen überprüft: 1. Es besteht ein positiver (querschnittlicher) Zusammenhang der Lesekompetenz und der Grammatikkompetenz mit der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz von Kindern mit Deutsch als Zweitsprache. 2. Es besteht ein positiver Zusammenhang der Lese- und Grammatikkompetenz mit der Entwicklung der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz von Kindern mit Deutsch als Zweitsprache. 3. Es besteht ein positiver Zusammenhang zwischen den Leistungsveränderungen in den Bereichen Lese- und Grammatikkompetenz und der Entwicklung der elementaren Modellierungskompetenz von Kindern mit Deutsch als Zweitsprache. Wie bereits anhand des Modellierungskreislaufes dargestellt, sind für das Lösen einer Textaufgabe auch Rechenfertigkeiten notwendig. Um Aussagen über die spezifische mathematische Modellierungskompetenz generieren zu können, werden in allen Analysen die arithmetischen Fähigkeiten als Kontrollvariable einbezogen (vgl. Fuchs et al., 2006). Um sicherzustellen, dass die gefundenen Zusammenhänge nicht auf allgemeine kognitive Grundfähigkeiten der Kinder zurückzuführen sind, werden darüber hinaus auch diese in allen Analysen als Kontrollvariable berücksichtigt. Methode Stichprobe Für die vorliegenden Analysen wurden die Daten der Prä- und Posttests einer Interventionsstudie, die darauf abzielte, zwei Sprachförderansätze vergleichend zu untersuchen, herangezogen (BeFo-Projekt: Bedeutung und Form: Fachbezogene und sprachsystematische Förderung in der Zweitsprache; Rösch & Stanat, 2011). Im Rahmen der Interventionsstudie wurden zwei Sprachfördermaßnahmen zusätzlich zum regulären Unterricht für 90 Minuten pro Woche in der dritten Jahrgangsstufe umgesetzt. Ein Teil der Kinder (n = 130) wurde nach einem bedeutungsfokussierten Ansatz, in der das implizite Sprachenlernen im Vordergrund stand, gefördert. Der zweite Förderansatz (n = 130) beinhaltete dagegen eine formfokussierte Sprachförderung durch sprachsystematischen Unterricht. Eine dritte Gruppe (n = 110), die ein Schuljahr später die Förderung erhielt, diente als Kontrollgruppe. Die randomisierte Zuweisung zu den Gruppen erfolgte zu Beginn des dritten Schuljahres. Im vorliegenden Beitrag werden die zu Beginn und zum Ende der dritten Jahrgangsstufe erhobenen Kompetenzen verwendet. An der Studie nahmen Kinder aus insgesamt 15 Berliner Grundschulen teil. Um zu gewährleisten, dass an der Intervention nur Zweitsprachenlernende Sprach- und Modellierungskompetenz 23 mit Sprachförderbedarf teilnahmen, wurden die Kinder in einem zweistufigen Prozess ausgewählt. Am Ende der zweiten Jahrgangsstufe wurden alle Kinder der teilnehmenden Schulen, die angaben, mit mindestens einem Elternteil eine andere Sprache als Deutsch zu sprechen, mit einem Screening-Verfahren im Hinblick auf ihre Deutschkompetenzen untersucht. Kinder, deren Testwerte mehr als eine Standardabweichung über dem Mittelwert der Gesamtgruppe lagen, wurden von der Studie ausgeschlossen, da bei diesen Kindern von gut entwickelten Sprachkompetenzen auszugehen ist. Schülerinnen und Schüler, die geringere Testwerte erzielten, konnten an der Studie freiwillig teilnehmen. Die Stichprobe der vorliegenden Studie besteht aus den 370 Kindern, die zur Studie angemeldet wurden und am ersten Erhebungszeitpunkt mindestens an einem Testtag teilnahmen. Die Kinder stammten aus insgesamt 102 meist jahrgangsübergreifenden Lerngruppen. Durchschnittlich 3.6 Kinder besuchten eine gemeinsame Lerngruppe (SD = 2.3). Die Kinder waren am Anfang der dritten Jahrgangsstufe im Durchschnitt 8; 5 Jahre alt (SD = 0.79); etwas mehr als die Hälfte der Kinder sind Mädchen (54,3 %). Alle teilnehmenden Kinder sprechen mit ihren Eltern mindestens auch eine andere Sprache als Deutsch oder eine Kombination aus Deutsch und einer weiteren Sprache, wobei 45,4 % der Kinder mit ihren Eltern Türkisch, 22,2 % Arabisch, 5,9 % Serbisch oder Bosnisch, 5,9 % Albanisch, 4,3 % Russisch, 3,8 % Polnisch, 2,2 % Kurdisch und 10,3 % sonstige Sprachen sprechen. Die Mehrzahl der Eltern (44,3 %) gab an, dass sie mit ihren Kindern überwiegend eine andere Sprache als Deutsch sprechen, während 34,3 % angaben, meistens Deutsch mit ihren Kindern zu sprechen. Für 21,4 % der Kinder liegen keine Informationen zur Häufigkeit des Sprachgebrauchs in der Familie vor. Instrumente Abfolge der Erhebungen Die allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten wurden bereits am Ende der zweiten Jahrgangstufe im Rahmen des Screenings erfasst. An zwei aufeinanderfolgenden Tagen zu Beginn und zum Ende des dritten Schuljahres fanden die Leistungstestungen statt. Am ersten Tag wurden die mathematischen Kompetenzen und das Leseverständnis, am zweiten Tag die Grammatikkompetenz erhoben. Zu beiden Messzeitpunkten wurden dieselben Tests eingesetzt. Mathematische Kompetenzen Zur Erfassung der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz wurde die vier Aufgaben umfassende Skala Textaufgaben des Deutschen Mathematiktests für zweite Klassen (DEMAT 2+; Krajewski, Liehm & Schneider, 2004) um vier weitere, den DEMAT-Aufgaben ähnelnde Textaufgaben ergänzt (angelehnt an Aufgaben aus Barwanietz, 2005). Der resultierende Test setzt sich insgesamt aus vier Vergleichsaufgaben, drei Austauschaufgaben und einer Kombinationsaufgabe (zu Klassifikation von Textaufgaben vgl. Riley et al., 1983) zusammen (Messzeitpunkt [MZP] 1: a = .75; MZP 2: a = .83). Zur Erfassung der arithmetischen Kompetenzen (d. h. Rechenkompetenzen) wurde die acht Additions- und Subtraktionsaufgaben umfassende Subskala Arithmetik des DEMAT 2+ eingesetzt (MZP 1: a = .77; MZP 2: a = .80). Sprachliche Teilkompetenzen Zur Erfassung des Leseverständnisses wurde eine verkürzte Version der ELFE 1 - 6 (Lenhard & Schneider, 2006) verwendet. Eingesetzt wurden fünf Geschichten mit 12 Fragen zum Textverständnis. Dieses Verfahren wurde um einen weiteren, selbst entwickelten längeren Text mit 12 Fragen zum Textverständnis ergänzt. Als Vorlage diente der Text Die Stadtschnecke aus den Orientierungsarbeiten für die zweite Jahrgangsstufe im Jahr 2004. 5 Die interne Konsistenz der gesamten Skala Lesen (24 Aufgaben) betrug zum MZP 1 a = .84 und zum MZP 2 a = .83. Da für die Prüfung grammatischer Kompetenzen von Grundschulkindern keine standardisierten Tests, die im Gruppenverfahren einsetzbar sind, zur Verfügung standen, wurde ein neues Instrument entwickelt. Die Entwicklung der Aufgaben erfolgte theoriegeleitet auf der Grundlage von Entwicklungsstufen der ausgewählten grammatikalischen Bereiche (z. B. Appeltauer, 1997; Grießhaber, 2007). Der verwendete Wortschatz orientiert sich grundsätzlich am Grundschulwörterbuch Deutsch (Hoppenstedt & Richardson, 2013). Der Test wurde in der dritten Jahrgangsstufe an 173 Schülerinnen und Schülern pilotiert; anhand der psychometrischen Kennwerte wurden die Aufgaben eliminiert, überarbeitet oder in die finale Testversion übernommen. Der Test er- 5 Die Orientierungsarbeit ist zu finden unter: http: / / www.berlin.de/ imperia/ md/ content/ sen-bildung/ schulqualitaet/ vergleichsarbeiten/ oa2_2004_deutsch_ lesetext_loesungen_verteilungen.pdf (letzter Zugriff am 3. 7. 2014) 24 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich fasst produktive grammatikalische Fähigkeiten in fünf Bereichen, die für Kinder mit Deutsch als Zweitsprache als schwierig gelten (Rösch, 2003): Konjugation von Verben, Deklination von Artikeln, Pluralbildung, Wortstellung sowie Deklination von Pronomen. Bis auf die Wortstellung wurden alle Bereiche mit Sätzen erfasst, die Lücken enthielten, in die die Kinder die sprachliche Zielstruktur schreiben mussten. Die korrekte Schreibung der Wörter spielte bei der Beurteilung der grammatikalischen Korrektheit der Antworten keine Rolle. Bei der Skala Wortstellung mussten vorgegebene Satzteile in der richtigen Reihenfolge miteinander verbunden werden. Der Grammatiktest enthält insgesamt 54 Aufgaben. Die interne Konsistenz des Tests betrug zu beiden Messzeitpunkten a = .90. Allgemeine kognitive Grundfähigkeiten Die nonverbalen allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten wurden mit dem CFT 1 (Cattell’s Culture Fair Intelligence Tests; Catell, Weiß & Osterland, 1997) erfasst. Eingesetzt wurden die drei Subskalen Klassifikationen, Ähnlichkeiten und Matrizen, die als Indikatoren der grundlegenden intellektuellen Leistungsfähigkeit gelten. Die interne Konsistenz betrug a = .79. Analysestrategie Die Analysen wurden anhand von linearen Strukturgleichungsmodellen mit latenten Variablen durchgeführt. Sämtliche Modellschätzungen erfolgten mit dem Programm Mplus Version 6.1 (Muthén & Muthén, 1998 - 2010) unter Verwendung des robusten Maximum-Likelihood-Verfahrens (MLR), da es für nicht normalverteilte Daten geeignet ist. Zur Berücksichtigung fehlender Werte wurde das in Mplus implementierte Full-Information-Maximum-Likelihood-Verfahren (FIML) angewendet. Dem verbreiteten Vorgehen folgend wurden Itemparcels (vgl. Little, Cunningham, Shahar & Widaman, 2002) jeweils so gebildet, dass diese sich in den Mittelwerten und Faktorladungen so weit wie möglich gleichen. Für die Grammatikkompetenz wurden drei und für Leseverständnis und Textaufgaben jeweils zwei Parcels gebildet. Die Kontrollvariablen arithmetische Kompetenz und allgemeine kognitive Grundfähigkeiten wurden als manifeste Variablen in das Modell aufgenommen. Um sicherzustellen, dass die psychometrischen Eigenschaften der Indikatoren über die Messzeitpunkte stabil sind, ist es in longitudinalen Modellen erforderlich, das Messmodell als invariant über die Zeit zu spezifizieren. Sind die Faktorladungen und die Intercepts der Indikatoren über alle Messzeitpunkte hinweg konstant, kann von (starker) Invarianz ausgegangen werden (Meredith & Horn, 2001). Die Überprüfung der Messinvarianz erfolgte getrennt für elementare Modellierungskompetenz, Leseverständnis und Grammatikkompetenz anhand der Latent- State-Modelle. In einem ersten Schritt erfolgte die Schätzung eines Baseline-Modells, in dem die Faktorstruktur über die Messzeitpunkte auf Gleichheit restringiert wurde (konfigurale Messinvarianz), Faktorladungen und Intercepts der Indikatoren jedoch frei variieren konnten. Im nächsten Schritt wurden neben der Faktorstruktur auch die Faktorladungen auf Gleichheit restringiert (schwache Invarianz) sowie anschließend zusätzlich die Intercepts der Indikatoren (starke Invarianz). Die Anpassungsgüte der restringierten Modelle wurde mit dem jeweils weniger restriktiven Modell anhand von c 2 -Differenzentests mit Satorra-Bentler-Korrektur verglichen. Die Veränderung über die Zeit wurde anschließend mithilfe von Latent-Change-Modellen analysiert (vgl. Steyer, Eid & Schwenkmezger, 1997). In Latent-Change-Modellen repräsentieren latente Differenzvariablen interindividuelle Unterschiede in intraindividuellen Veränderungen. Diese Modelle bieten den Vorteil, dass Messfehler in den Indikatoren berücksichtigt werden. Zudem kann die latente Veränderung mit anderen Variablen in Beziehung gesetzt werden. Die Latent-Change-Modelle für die einzelnen Kompetenzvariablen zeigt Abbildung 1. Die Beurteilung der Modellgüte erfolgte anhand des Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) und des an den Freiheitsgraden relativierten c 2 -Wertes ( c 2 / df ). Von einer sehr guten (akzeptablen) Modellanpassung ist bei einem RMSEA < .05 (.08) und bei c 2 / df < 2 (3) auszugehen (Hu & Bentler, 1999). Zur Prüfung der Hypothesen wurden die mathematische Modellierungskompetenz, die Lesekompetenz und die Grammatikkompetenz (jeweils als Latent-Change-Modelle) simultan in ein Modell aufgenommen. Als manifeste Kontrollvariablen wurden die allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten und die arithmetischen Kompetenzen zu beiden Messzeitpunkten einbezogen. Da die Intervention, die in dem Untersuchungszeitraum stattfand, darauf abzielte, die Sprachkompetenz der Kinder zu fördern, war es zudem erforderlich, die Interventionsgruppenzugehörigkeit (Kontrollgruppe, Interventionsgruppe 1, Interventionsgruppe 2) als weitere Kontrollvariable zu berücksichtigen. Sprach- und Modellierungskompetenz 25 Abb. 1: Latent Change Modelle, A: Modellierungsfähigkeiten (MO), B: Leseverständnis (LV), C: Grammatikkompetenz (GR) mit autokorrelierten Fehlervariablen zur besseren Modellanpassung. Anmerkungen: MO1 = Modellierungskompetenz Messzeitpunkt (MZP) 1, LV1 = Lesekompetenz MZP 1, GR1 = Grammatikkompetenz MZP 1. Die Differenzvariablen (Mo2 - Mo1, LV2 - LV1, GR2 - GR1) repräsentieren die latente Veränderung vom ersten zum zweiten Messzeitpunkt. A B C Cov (MO1, MO2 - MO1) Cov (LV1, LV2 - LV1) Cov (GR1, GR2 - GR1) MO1 MO2 -MO1 PM11 PM12 PM21 PM22 e 1 e 2 e 3 e 4 1 1 1 λ 1 λ 1 λ 1 LV1 LV2 -LV1 PL11 PL12 PL21 PL22 e 1 e 2 e 3 e 4 1 1 λ 1 1 λ 1 λ 1 GR1 GR2 -GR1 PG11 PG12 PG13 PG21 PG22 PG23 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 1 λ 1 λ 2 1 λ 1 λ 2 1 λ 1 λ 2 26 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich Ergebnisse Tabelle 1 zeigt die deskriptiven Ergebnisse für die erfassten sprachlichen und mathematischen Kompetenzen zu beiden Messzeitpunkten und für die kognitiven Fähigkeiten, die nur zu einem Zeitpunkt erhoben wurden. Da sich die untersuchte Stichprobe aus Zweitsprachenlernenden mit eher geringen Kompetenzen in der Instruktionssprache zusammensetzt, liegen die sprachlichen Leistungen erwartungsgemäß im unteren Leistungsbereich. Auch in den mathematischen Kompetenzbereichen sind die durchschnittlichen Lösungshäufigkeiten der Kinder gering, wobei die mittleren Lösungshäufigkeiten der Skalen Modellierung und Arithmetik ähnlich ausgeprägt sind. Die Schülerinnen und Schüler zeigen in allen Leistungsbereichen einen erheblichen durchschnittlichen Lernzuwachs vom ersten Messzeitpunkt zu Beginn der dritten Jahrgangsstufe bis zum zweiten Messzeitpunkt am Ende der dritten Jahrgangsstufe. Der Lernzuwachs entspricht in allen Leistungsbereichen ungefähr einer Standardabweichung; die (großen) Effektstärken (Cohens d ) liegen zwischen d = .91 und d = 1.28 (vgl. Tab. 1). Konstrukt N fehlende Werte M SD Min Max ΔM d AR 1 Arithmetik (%) MZP 1 369 1 22.8 24.1 0 100 AR 2 Arithmetik (%) MZP 2 359 11 47.8 30.0 0 100 25.0 .91 MO 1 Modellierung (%) MZP 1 369 1 21.9 23.4 0 100 MO 2 Modellierung (%) MZP 2 359 11 47.7 30.0 0 100 25.8 .96 LV 1 Leseverständnis (%) MZP 1 369 1 29.1 20.4 0 92 LV 2 Leseverständnis (%) MZP 2 359 11 57.5 23.7 0 100 28.4 1.28 GR 1 Grammatik (%) MZP 1 367 3 29.9 17.2 0 72 GR 2 Grammatik (%) MZP 2 352 18 52.3 18.0 0.4 89 22.4 1.27 KG Allgemeine kognitive Grundfähigkeiten (Rohwert) 364 6 23.3 5.4 5 34 Tab. 1: Mittelwerte, Standardabweichung, Minimum, Maximum, Lernzuwachs (manifeste Indikatoren) Anmerkungen: Δ M = Differenz der Mittelwerte, d = Effektstärke nach Cohen; MZP = Messzeitpunkt. Messmodell c 2 df p CFI RMSEA Vergleich* p Modellierungskompetenz Konfigurale Invarianz Schwache Invarianz Starke Invarianz 0.165 3.701 3.666 1 2 3 .68 .16 .30 1.000 0.996 0.999 .000 .048 .024 .05 .75 Lesekompetenz Konfigurale Invarianz Schwache Invarianz Starke Invarianz 0.021 2.365 2.460 1 2 3 .89 .31 .48 1.000 0.999 1.000 .000 .022 .000 .12 .60 Grammatikkompetenz Konfigurale Invarianz Schwache Invarianz Starke Invarianz 23.722 28.900 29.346 8 10 12 .00 .00 .00 0.990 0.988 0.989 .073 .072 .063 .08 .79 Tab. 2: Fitindices der Latent-State-Modelle Anmerkung: * Modellvergleich mit dem jeweils weniger restriktiven Modell ( c 2 -Differenzentests mit Satorra-Bentler- Korrektur). Sprach- und Modellierungskompetenz 27 Die Ergebnisse der c 2 -Differenzentests der Messinvarianzanalyse zeigen, dass für die drei Kompetenzbereiche elementare Modellierungskompetenz, Leseverständnis und Grammatikkompetenz das Modell starker Invarianz zu favorisieren ist. Die Modelle, die von starker Invarianz ausgehen, weisen alle einen guten Modellfit auf. Tabelle 2 gibt einen Überblick der Fitindizes. Es kann also davon ausgegangen werden, dass die Messungen über die Zeit vergleichbar sind, sodass die Voraussetzung zur Analyse von latenten Mittelwertstrukturen und deren Bedingungsfaktoren gegeben ist. Im nächsten Schritt wurde für die drei Kompetenzbereiche elementare Modellierungskompetenz, Leseverständnis und Grammatikkompetenz jeweils ein Latent-Change-Modell spezifiziert (vgl. Abb. 1). Dabei wurden die Faktorladungen und Intercepts über die Messzeitpunkte hinweg invariant gesetzt. In Tabelle 3 sind die Parameterschätzungen und Fitindices für alle drei Modelle aufgeführt. Die Modelle weisen eine sehr gute Anpassungsgüte auf. Die latente Veränderung aller Kompetenzen ist signifikant von null verschieden. Der negative Zusammenhang zwischen Ausgangswert (MZP 1) und latenter Veränderung (MZP 2 - MZP 1) konnte für die beiden Sprachkompetenzen inferenzstatistisch abgesichert werden. Angesichts der methodischen Probleme bei der Interpretation dieser Parameter (z. B. Regression-zur-Mitte) sollten jedoch keine inhaltlichen Schlussfolgerungen aus diesen Korrelationen gezogen werden. Zur Überprüfung der Hypothesen wurden die elementare mathematische Modellierungskompetenz und die sprachlichen Kompetenzen simultan in ein Strukturgleichungsmodell aufgenommen. Die Modellparameter der Kovariaten sind separat aufgeführt (s. Abb. 2). Die Modellprüfung zeigt, dass die Modellanpassung als sehr gut zu bewerten ist ( c 2 = 118.53, df = 104, c 2 / df = 1.14, RMSEA = .019). Aus der Analyse (Abb. 2) wird ersichtlich, dass für die Lesekompetenz zum ersten Messzeitpunkt (LV1) erwartungsgemäß ein signifikanter positiver Zusammenhang mit der elementaren Modellierungskompetenz zum selben Messzeitpunkt (MO1) zu verzeichnen ist ( b = .21). Darüber hinaus zeigt sich zum ersten Messzeitpunkt ein signifikanter Zusammenhang zwischen Grammatikkompetenz (GR1) und elementarer Modellierungskompetenz (MO1) ( b = .23). Hypothese 1 (Es besteht ein positiver [querschnittlicher] Zusammenhang der Lesekompetenz und der Grammatikkompetenz mit der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz.) kann demnach bestätigt werden. Demgegenüber zeigt sich, dass weder die Lesekompetenz (LV1) noch die Grammatikkompetenz (GR1) des ersten Messzeitpunktes einen signifikanten Effekt auf die Differenzvariable (MO2 - MO1), die die latente Veränderung der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz vom ersten zum zweiten Messzeitpunkt repräsentiert, hat. Hypothese 2 (Lese- und Grammatikkompetenz haben einen signifikanten Effekt auf die Entwicklung der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz.) kann also nicht bestätigt werden. Sowohl für die Differenzvariable (LV2 - LV1), die die latente Veränderung der Lesekompetenzen repräsentiert, als auch für die latente Veränderung der grammatischen Kom- Konstrukt M MZP 1 (p) M Δ (p) Var MZP 1 (p) Var Δ (p) r MZP 1, Δ (p) RMSEA c 2 / df Modellierungskompetenz Leseverständnis Grammatikkompetenz .22 (< .01) .30 (<.01) .31 (< .01) .28 (< .01) .32 (< .01) .22 (< .01) .04 (< .01) .04 (< .01) .03 (< .01) .04 (< .01) .03 (< .01) .01 (< .01) -.12 (.15) -.20 (.01) -.29 (< .01) .024 < .001 .013 1.2 0.8 1.1 Tab. 3: Latent Change Modelle: Latente Mittelwerte, Varianzen und Korrelationen der Ausgangswerte mit den latenten Veränderungen Anmerkungen: MZP = Messzeitpunkt; M Δ = Mittelwert der latenten Veränderung, Var Δ = Varianz der latenten Veränderung, r MZP 1, Δ = latente Korrelation des Ausgangswertes (MZP 1) mit der latenten Veränderung. 28 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich Abb. 2: Strukturgleichungsmodell mit standardisierten Pfadkoeffizienten. Anmerkungen: MO1 = Modellierungskompetenz 1. Messzeitpunkt (MZP), LV1 = Lesekompetenz MZP 1, GR1 = Grammatikkompetenz MZP 1. Die Differenzvariablen (Mo2 - Mo1, LV2 - LV1, GR2 - GR1) repräsentieren die latente Veränderung vom ersten zum zweiten Messzeitpunkt. AR1 = Arithmetik MZP 1, AR2 = Arithmetik MZP 1, KG = Allgemeine kognitive Grundfähigkeiten, Treat = Interventionsgruppenzugehörigkeit (Kontrollgruppe, Interventionsgruppe 1, Interventionsgruppe 2). Signifikante Pfadkoeffizienten (p < .05) sind fett gedruckt. * Zum MZP 1 unterscheiden sich die Treatmentgruppen aufgrund der Randomisierung nicht, die Koeffizienten wurden auf null fixiert. GR1 MO1 LV1 GR2 -GR1 MO2 -MO1 LV2 -LV1 -.11 -.09 -.10 .14 .03 .73 .17 .28 .23 .21 .41 .22 .31 -.36 .43 Manifeste Kovariaten MO1 LV1 GR1 MO2 -MO1 LV2 -LV1 GR2 -GR1 Pfadkoeffizienten AR1 AR2 KG Treat .47 - .10 -* - - .24 -* - - .24 -* -.18 .45 .10 .03 -.07 - .14 -.01 .13 - .11 .01 Interkorrelationen AR1 AR2 - .17 .27 .24 .21 .15 - - - .02 - .10 Sprach- und Modellierungskompetenz 29 petenzen (GR2 - GR1) zeigt sich jedoch ein signifikanter Zusammenhang mit der Veränderung der mathematischen Modellierungskompetenz ( b LV = .31, b GR = .22). Hypothese 3 (Es besteht ein positiver Zusammenhang zwischen den Leistungsveränderungen in den Bereichen Lese- und Grammatikkompetenz und der Entwicklung der elementaren Modellierungskompetenz.) kann demzufolge für beide sprachlichen Teilkompetenzen bestätigt werden. Von den Kovariaten zeigen erwartungsgemäß die arithmetischen Fähigkeiten und die allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten signifikante Effekte auf die Modellierungsfähigkeiten. Die Interventionsgruppenzugehörigkeit, die als weitere Kontrollvariable in das Modell aufgenommen wurde, hatte keinen Effekt auf den Leistungszuwachs in den sprachlichen und mathematischen Kompetenzen, d. h. die Leistungszuwächse der Kinder, die im Rahmen des BeFo-Projektes an einer Intervention zur Sprachförderung teilgenommen haben, unterscheiden sich nicht von den Leistungszuwächsen der Kinder der Kontrollgruppe. Die im Modell berücksichtigten Prädiktoren klären insgesamt 55,6 % der Varianz der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz zum ersten Messzeitpunkt und 34,4 % der Varianz der latenten Veränderung der elementaren mathematischen Modellierungskompetenz auf. Diskussion Die Entwicklung mathematischer Modellierungskompetenz wird als ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichtes betrachtet (KMK, 2004). Für die erfolgreiche Bearbeitung mathematischer Modellierungsaufgaben sind dabei hinreichend ausgeprägte sprachliche Fähigkeiten unabdingbar. Da Zweitsprachenlernende die Instruktionssprache oft nicht ausreichend beherrschen (z. B. Schwippert et al., 2012), wird angenommen, dass der Erwerb mathematischer Modellierungskompetenz für diese Schülerinnen und Schüler eine besondere Herausforderung darstellt (Duarte et al., 2011). In früheren Studien konnte zwar gezeigt werden, dass ein Zusammenhang zwischen sprachlichen Kompetenzen in der Instruktionssprache und mathematischer Modellierungskompetenz besteht (z. B. Kempert et al., 2011); längsschnittliche Studien, die die Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz analysieren und zugleich die Zeitvarianz der sprachlichen Kompetenzen berücksichtigen, lagen bislang jedoch nicht vor. In der vorliegenden Studie wurden die longitudinalen Zusammenhänge zwischen Sprachkompetenz und elementarer mathematischer Modellierungskompetenz von Grundschulkindern mit Deutsch als Zweitsprache anhand eines Strukturgleichungsmodells untersucht. Die gewählte Latent-Change-Modellierung ermöglichte es, die Zusammenhänge zwischen den sprachlichen und mathematischen Kompetenzveränderungen über einen Zeitraum von einem Schuljahr (vom Beginn bis zum Ende der dritten Jahrgangsstufe) zu analysieren. Aufgrund theoretischer Überlegungen und vorliegender empirischer Befunde (Boonen et al., 2013; Duarte et al., 2011) wurde angenommen, dass nicht nur das Leseverständnis, sondern darüber hinaus auch die Grammatikkompetenz ein wichtiger Prädiktor für mathematische Modellierungskompetenz ist. Unter Kontrolle der allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten und der arithmetischen Fähigkeiten zeigte sich nicht nur für Leseverstehen, sondern darüber hinaus auch für die Grammatikkompetenz ein querschnittlicher Zusammenhang mit der mathematischen Modellierungskompetenz bei Kindern mit Deutsch als Zweitsprache mit eher gering ausgeprägten sprachlichen Kompetenzen im Deutschen. Während die sprachlichen Kompetenzen zu Beginn der Untersuchung keinen bedeutsamen Beitrag bei der Erklärung der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz leisteten, sind die Veränderungen des Leseverständnisses und die Veränderungen der Grammatikkompetenz erwartungskonform positiv mit der Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz assoziiert. 30 Jennifer Paetsch, Anja Felbrich Konsistent mit theoretischen Annahmen stützen die Ergebnisse die These, dass nicht nur Leseverstehen, sondern auch grammatische Fähigkeiten für mathematische Modellierungskompetenz bedeutsam sind (z. B. Martiniello, 2007). Entgegen den Erwartungen und im Gegensatz zu Ergebnissen aus früheren Studien (z. B. Grimm, 2008) leisteten in der vorliegenden Studie allerdings weder die Lesekompetenz noch die Grammatikkompetenz zu Beginn des Schuljahres einen Beitrag zur Vorhersage der Modellierungskompetenzentwicklung. Dieser Befund könnte jedoch auf die eher gering ausgeprägten sprachlichen Kompetenzen der untersuchten Zweitsprachenlernenden zu Beginn der dritten Jahrgangsstufe zurückzuführen sein. Gleichzeitig wurde durch die Berücksichtigung der Zeitvarianz der sprachlichen Fähigkeiten erkennbar, dass sich die Kompetenzen der Zweitsprachenlernenden in den Bereichen Lesen und Grammatik im Verlauf der dritten Jahrgangsstufe noch erheblich verbessern. Es scheint also weniger das Ausgangsniveau der sprachlichen Kompetenzen für die Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz von Zweitsprachenlernenden in der dritten Jahrgangsstufe bedeutsam zu sein, sondern vielmehr die Sprachkompetenzentwicklung: Schülerinnen und Schüler, die größere Leistungszuwächse im Leseverständnis oder in der Grammatikkompetenz aufwiesen, zeigten tendenziell auch größere Leistungszuwächse der mathematischen Modellierungskompetenz. Insgesamt liefern die Befunde wichtige Hinweise darauf, dass Zweitsprachenlernende mit der Herausforderung konfrontiert sein dürften, gleichzeitig mathematische Kompetenzen und Fähigkeiten in der Instruktionssprache entwickeln zu müssen. Unklar bleibt jedoch, welche Rolle Kontextfaktoren, wie beispielsweise die Unterrichtsqualität oder das Lernklima, spielen: Die gefundenen Zusammenhänge zwischen den Veränderungen in den sprachlichen Kompetenzen und den Veränderungen in den mathematischen Kompetenzen könnten teilweise auch auf solche Drittvariablen zurückzuführen sein. Für die pädagogische Praxis lässt sich aus den Befunden ableiten, dass Zweitsprachenlernende ausreichend Gelegenheiten und Unterstützung zur Entwicklung ihrer instruktionssprachlichen Fähigkeiten benötigen. Die Frage, ob eine Verbesserung der sprachlichen Kompetenzen in den Bereichen Lesen und Grammatik auch zu einer Verbesserung der elementaren mathematischen Kompetenzen der Zweitsprachenlernenden führt, lässt sich hingegen nicht abschließend beantworten. Einschränkend ist anzumerken, dass in der Studie ausschließlich Zweitsprachenlernende mit vergleichsweise geringen Kompetenzen in der deutschen Sprache untersucht wurden. Ob die Befunde auch auf Zweitsprachenlernende mit besseren Sprachkompetenzen und auf Schülerinnen und Schüler mit Deutsch als Muttersprache übertragbar sind, muss durch weitere Studien gezeigt werden. Darüber hinaus ist einschränkend zu erwähnen, dass die sprachlichen Kompetenzen im Bereich Grammatik ausschließlich produktiv erfasst wurden. Für das Lösen von Textaufgaben wird jedoch insbesondere den rezeptiven Fähigkeiten (d. h. dem Verständnis der morpho-syntaktischen Strukturen) eine wichtige Rolle zugeschrieben (vgl. Boonen et al., 2013; Duarte et al., 2011). Des Weiteren ist fraglich, ob die durch den eingesetzten Grammatiktest abgedeckten grammatischen Bereiche diejenigen morpho-syntaktischen Phänomene berücksichtigen, die in Textaufgaben der Grundschule vorkommen. Auch wenn die gefundenen Zusammenhänge vermuten lassen, dass die gewählte Operationalisierung zur Erfassung von allgemeinen grammatischen Fähigkeiten geeignet ist, sind weitere Untersuchungen notwendig, um zu klären, ob sich vergleichbare Zusammenhangsmuster auch für rezeptive grammatische Fähigkeiten zeigen. Zudem wurden die Wortschatzkenntnisse der Zweitsprachenlernenden in der vorliegenden Studie nicht berücksichtigt. Auch wenn frühere Studien keine direkten Zusammenhänge zwischen Wortschatzkenntnissen und mathematischer Modellierungskompetenz berichten konnten (Kyttäla et al., 2014; Tolar et al., 2012), sind hier weitere Untersu- Sprach- und Modellierungskompetenz 31 chungen notwendig, um die Rolle des Wortschatzes zu klären. Einschränkend ist weiterhin anzumerken, dass in vorliegender Studie zwar die allgemeinen kognitiven Grundfähigkeiten als Kontrollvariable berücksichtigt wurden, nicht jedoch das Arbeitsgedächtnis. Zwar konnte in der Studie von Kyttäla et al. (2014) nur ein indirekter Effekt des Arbeitsgedächtnisses (über Hörverstehen) für das Lösen von mündlich präsentierten Textaufgaben nachgewiesen werden, ob dieser Befund auf Leseverstehen und schriftlich präsentierte Textaufgaben übertragbar ist, bleibt allerdings unklar. Zukünftige Längsschnittstudien zum Zusammenspiel von sprachlichen Fähigkeiten und mathematischen Modellierungskompetenzen von Zweitsprachenlernenden sollten zudem über einen längeren Zeitraum angelegt sein. Zum einen würde dies ermöglichen, die Effekte auch für fortgeschrittene mathematische Modellierungskompetenzen in der Sekundarstufe zu untersuchen. Zum anderen böte sich dadurch die Möglichkeit, die Auswirkungen von früheren Kompetenzveränderungen auf spätere zu untersuchen und so Anhaltspunkte für die Wirkrichtung und für vorliegende Wechselwirkungsprozesse zu erhalten. Zusätzlich wären experimentelle Untersuchungen wünschenswert, um die Kausalzusammenhänge zwischen sprachlichen Kompetenzen und mathematischer Modellierungskompetenz genauer zu klären. Ob und inwieweit sich eine gezielte, wirksame Förderung der Zweitsprachkompetenzen in den Bereichen Grammatik und Lesen tatsächlich positiv auf die Entwicklung mathematischer Modellierungskompetenz auswirkt, kann nur durch kontrollierte Interventionsstudien gezeigt werden. Literatur Abedi, J. & Lord, C. (2001). The language factor in mathematics tests. Applied Measurement in Education, 14, 219 - 234. http: / / dx.doi.org/ 10.1207/ S15324818A ME1403_2 Appeltauer, E. (1997). Kasusmarkierungen als Sprachstandsindikatoren. 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