Vierteljahresschrift für Heilpädagogik und ihre Nachbargebiete
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0017-9655
Ernst Reinhardt Verlag, GmbH & Co. KG München
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2005
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Lernschwierigkeiten Mathematik in Klasse 5 und 8
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2005
Elisabeth Moser Opitz
Im Rahmen eines Forschungsprojektes (2001–2004) wurden unterdurchschnittliche Mathematikleistungen von Fünft- und Achtklässlern sowie die mathematischen Kompetenzen einer Kontrollgruppe genauer untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass rechenschwache Schülerinnen und Schüler spezifische Aspekte des Lernstoffes der ersten vier Schuljahre nicht oder nur teilweise erworben haben. Im Artikel werden neben einer Übersicht über die Hauptergebnisse die Bereiche „Strategieverwendung“, „Zählen“, „Dezimalsystem“ und „Operationsverständnis“ genauer beleuchtet, und es werden beispielhaft Folgerungen für Diagnostik und Förderung dargelegt.
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1 Einführung in die Thematik „Weitere Forschung ist dringend nötig“. Mit diesem Satz schließt ein großer Teil von Forschungsberichten und wissenschaftlichen Beiträgen zum Thema Rechenschwäche. Beklagt wird, dass Studien und damit Erkenntnisse zu den verschiedensten Themenbereichen fehlen würden. Dieser Mangel an Wissen steht im Gegensatz zum täglichen Leiden von Schülerinnen und Schülern im und am Fach Mathematik 2 - und damit verbunden oft auch dem Mit-Leiden und der Ratlosigkeit von Eltern und Lehrpersonen. Die Äußerung einer Fünftklässlerin (vgl. Abb. 1) zeigt diese Schwierigkeit beispielhaft auf. Die Schülerin berichtet von großen Problemen beim Mathematiklernen. Es kommt vor, dass sie vor einer ganzen Seite mit Rechenaufgaben sitzt und nichts versteht. Die Lehrerin bemüht sich, will helfen - erfolglos. Nicht nur die dargestellte unbefriedigende Forschungslage macht den Umgang mit der Thematik der Rechenschwäche 3 schwierig. Auch in der Fachliteratur ist oft ein uneinheitlicher Umgang mit dem Begriff zu finden. Auf der einen Seite gibt es immer mehr Publikationen, welche von einem Verständnis von Rechenschwäche ausgehen, welches diese als „Lehr- und Lernstörungen“ betrachtet und den Mathematikunterricht als wesentlichen mitbestimmenden Faktor in die Diskussion einbeziehen (z. B. Fritz/ Ricken/ Schmidt 2003). Auf 113 Lernschwierigkeiten Mathematik in Klasse 5 und 8 Eine empirische Untersuchung zu fehlenden mathematischen Basiskompetenzen Elisabeth Moser Opitz Universität Freiburg/ CH ■ Zusammenfassung 1 : Im Rahmen eines Forschungsprojektes (2001 - 2004) wurden unterdurchschnittliche Mathematikleistungen von Fünft- und Achtklässlern sowie die mathematischen Kompetenzen einer Kontrollgruppe genauer untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass rechenschwache Schülerinnen und Schüler spezifische Aspekte des Lernstoffes der ersten vier Schuljahre nicht oder nur teilweise erworben haben. Im Artikel werden neben einer Übersicht über die Hauptergebnisse die Bereiche „Strategieverwendung“, „Zählen“, „Dezimalsystem“ und „Operationsverständnis“ genauer beleuchtet, und es werden beispielhaft Folgerungen für Diagnostik und Förderung dargelegt. Schlüsselbegriffe: Dyskalkulie, Lernstörungen Mathematik, Rechenschwäche, empirische Untersuchung ■ Learning Disabilities in Mathematics in Class 5 and 8. An Empirical Study on Missing Basic Mathematical Competencies Summary: A project (2001 - 2004) scrutinizes the mathematical knowledge of pupils in grade 5 and 8 whose mathematical score is below average. The results indicate that pupils with competencies below average have significantly less understanding of the basic mathematical topics like counting, baseten-system, and basic operation in comparison to a control group. The article gives an overview of some main results and it highlights the topics „use of strategies“, „counting“, „base-ten-system“ and „meaning for the operations” more precisely. Finally, some implications for diagnostics and instruction will be shown. Keywords: Dyscalculia, learning difficulties in mathematics, mathematical disability, empirical study Fachbeitrag VHN, 74. Jg., S. 113 - 128 (2005) © Ernst Reinhardt Verlag München Basel der anderen Seite wird genau so häufig die defizitorientierte Diskrepanzdefinition der WHO (unterdurchschnittliche Mathematikleistungen bei durchschnittlicher Intelligenz und durchschnittlichen Leistungen im Fach Deutsch) verwendet, in welcher unterrichtliche bzw. fachliche Aspekte eine untergeordnete Rolle spielen (vgl. Moser Opitz 2004). Gerade deshalb werden im vorliegenden Artikel „problematische Mathematikleistungen“ ins Zentrum des Interesses gerückt. Nur wenn differenzierte Informationen über konkrete Schwierigkeiten beim Mathematiklernen von betroffenen Schülerinnen und Schülern und mehr Wissen über deren mathematische Lernprozesse vorliegen, ist es auch möglich, Fördermaßnahmen zu planen und Lehrpersonen entsprechende Unterstützung zur Verfügung zu stellen. Ansonsten besteht immer wieder die Gefahr, dass den Bemühungen von Lehrpersonen nur wenig Erfolg beschieden ist - wie es im Zitat der Schülerin in Abbildung 1 zum Ausdruck kommt. Im Folgenden wird deshalb der Gegenstand „problematische Mathematikleistungen“ anhand eines kurzen Forschungsüberblicks und anhand von ersten Ergebnissen einer empirischen Studie näher beleuchtet. 2 Forschungsüberblick Schwierigkeiten beim Mathematiklernen werden häufig schon in der Grundschule festgestellt, äußern sich jedoch auch in höheren Klassen. Es wird angenommen, dass die Fehlvorstellungen bzw. fehlenden Kompetenzen von älteren Schülerinnen und Schülern auf Lücken bzw. mangelndes Verständnis der Grundschulmathematik zurückzuführen sind (Jones u. a. 1997, 161; Peterson Miller/ Mercer 1997, 47; Cawley/ Miller 1989). Parmar und Cawley (1997) beschreiben die Schülerinnen und Schüler mit mathematischen Lernschwächen wie folgt: a) Sie bleiben zwei bis vier Schuljahre unter den erwarteten Mathematikleistungen zurück. Bei 8.- Klässlern mit mathematischen Lernschwierigkeiten wurde beispielsweise festgestellt, dass ihre Leistungen im Bereich der Division denjenigen von 5.-Klässlern entsprechen (vgl. Cawley u. a. 2001, 318). b) Sie benötigen für die Erarbeitung des Lernstoffs von einem Schuljahr zwei oder mehr Jahre. c) Am Ende der Schulzeit beherrschen sie den Schulstoff der ersten fünf bis sechs Schuljahre (vgl. auch Parmar u. a. 1996, 128). d) Sie machen über Jahre hinweg kaum Fortschritte (vgl. auch Geary 1993, 348). Geringe Leis- Elisabeth Moser Opitz 114 VHN 2/ 2005 Abb. 1: Äußerung einer Fünftklässlerin tungsfortschritte wurden vor allem bei Kindern mit umfassenden Lernproblemen (unterdurchschnittliche Leistungen in Sprache und Mathematik) festgestellt (Silver u. a. 1999, vgl. auch Jordan/ Hanich 2000). e) Sie gewöhnen sich seltsame Fehlermuster an. Aufgrund von weiteren empirischen Studien werden zusätzlich folgende Schwierigkeiten von betroffenen Schülerinnen und Schülern genannt: f) Sie sind am Ende der Schulzeit nur beschränkt fähig, selbständig mit den persönlichen finanziellen Angelegenheiten zurechtzukommen (Patton u. a. 1997, 178). g) Sie lernen mathematische Verfahren rezepthaft auswendig und haben Schwierigkeiten beim Problemlösen (z. B. Montague/ Appelgate 2000). Besondere Schwierigkeiten zeigen sich beim Lösen mehrstufiger Aufgaben (Pedrotty Bryant u. a. 2000, 175). h) Sie verwenden häufig Fingerzähl-Strategien (Jordan/ Oettinger Montani 1997, 632; Ostad 1997). i) Sie haben Schwierigkeiten, Operationen zu automatisieren bzw. Resultate abzurufen (Geary u. a. 2004; Cawley u. a. 2001; Jordan/ Oettinger Montani 1997, 633; Geary 1994, 161). Übereinstimmend werden hier als Merkmale von Schülerinnen und Schülern mit mathematischen Lernschwierigkeiten ein großer Leistungsrückstand, häufiges Fingerzählen sowie Schwierigkeiten beim Automatisieren und Problemlösen genannt. Es interessiert nun, ob sich diese Schwierigkeiten noch genauer benennen lassen bzw. ob sie bei bestimmten Themen und Operationen gehäuft auftreten. 3 Projekt Lehr- und Lernstörungen Mathematik Das Forschungsprojekt „Mathematische Lehr- und Lernstörungen: Theoretische Klärungen und empirische Studien an betroffenen Schülerinnen und Schülern“ 4 hat zum Ziel, die mathematischen Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern mit mathematischen Lernschwierigkeiten genauer zu analysieren. Es wird angenommen, dass es im Lernstoff der ersten vier Schuljahre so genannten „Basisstoff“ 5 gibt, welcher erarbeitet und verstanden sein muss, damit Weiterlernen möglich ist, und dass von Lernschwäche betroffene Schülerinnen und Schüler bei dessen Erwerb gescheitert sind. Anhand einer Stichprobe von Schülerinnen und Schülern mit Rechenschwäche im fünften und im achten Schuljahr der Volksschule wird der Frage nachgegangen, ob sich solch typische Hürden, welche diese Schüler und Schülerinnen in ihrer mathematischen Lernbiographie nicht überwunden haben, empirisch nachweisen lassen. Es interessiert auch, ob sich bezüglich fehlender bzw. falscher Vorstellungen von bestimmten mathematischen Operationen und Strategien bei diesen Schülerinnen und Schülern (unabhängig vom IQ) übereinstimmende Schwierigkeiten beobachten lassen. Die Untersuchung wurde mit einer Stichprobe von Schülerinnen und Schülern mit eindeutig unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen sowie einer Kontrollgruppe ohne Auffälligkeiten im mathematischen Bereich durchgeführt. Zu diesem Zweck wurden mathematische Leistungen und Intelligenz bei Schülern und Schülerinnen aus fünften und achten Klassen der Volksschule in allen deutschschweizerischen sowie zweisprachigen Kantonen der Schweiz erhoben. Um eine möglichst normale Leistungsverteilung zu erhalten, wurden jeweils mehrere Schulklassen vom selben Schulort (Primar- und Realklassen 6 , Klassen für Lernbehinderte bzw. integrative Klassen) in die Untersuchung einbezogen. Anhand der Ausgangsstichprobe wurde die eigentliche Untersuchungsstichprobe zusammengestellt. Sie besteht im 5. und 8. Schuljahr aus je drei Gruppen von ca. 40 Schülerinnen und Schülern (vgl. Abb. 2) 7 . Die Einzeluntersuchung bestand aus einem Kurzinterview zur mathematischen Lernbiografie und einem Mathematiktest. Bereiche und Aufgabenbeispiele aus dem Test sind in Tabelle 1 dargestellt 10 . Im Folgenden werden der generelle mathematische Leistungsvergleich zwi- Lernschwierigkeiten Mathematik 115 VHN 2/ 2005 Elisabeth Moser Opitz 116 VHN 2/ 2005 5. Klasse 8. Klasse Gruppe RS 1 N = 41 (m 21, w 20) N = 46 (m 22, w 24) IQ unterdurchschnittlich 8 IQ unterdurchschnittlich Mathe unterdurchschnittlich 9 Mathe unterdurchschnittlich Durchschnittsalter: 12 J Durchschnittsalter: 14.8 J Gruppe RS 2 N = 48 (m 24, w 24) N = 39 (m 21, w 18) IQ durchschnittlich IQ durchschnittlich Mathe unterdurchschnittlich Mathe unterdurchschnittlich Durchschnittsalter: 11.5 J Durchschnittsalter: 14.7 J Gruppe 3 N = 45 (m 22, w 23) N = 47 (m 23, w 24) Kontroll IQ durchschnittlich IQ durchschnittlich Mathe durchschnittlich Mathe durchschnittlich Durchschnittsalter: 11.5 J Durchschnittsalter: 16.6 J November 2002 April - Juni 2003 Mathematiktest Ausführliche Einzeluntersuchungen Intelligenztest CFT 20 5. Klasse N = 2475 8. Klasse N = 1550 Abb. 2: Untersuchungsplan Tab. 1: Übersicht Testaufgaben des Mathematiktests für Einzeluntersuchung Inhaltliche Bereiche Aufgabenbeispiele Punkte (bestehend aus 5 je Items) Zählen z. B. Zweierschritte vorwärts, Zehnerschritte rückwärts 10 usw. Addition 3 + 5, 73 + 5, 143 + 50 usw. 10 Subtraktion 9 - 4, 59 - 40, 690 - 40 usw. 10 Ergänzen 73 + _ = 100, 1596 + _ = 1600 usw. 10 Verdoppeln, Halbieren 2 · 7, 2 · 17, 108 : 2 usw. 10 Multiplikation 3 · 7, 30 · 40 usw. 10 Division 160 : 4, 1000 : 8 usw. 10 Dezimalsystem Bündeln, Zahlenstrahl, Stellenwerte. Beispiele siehe 10 Tabelle 6. Textaufgaben Peter hat 42 CDs. Er gibt Lea 5 CDs. Wie viele CDs hat er 10 noch? usw. Operationsverständnis Aufgaben wie 3 + 5, 12 : 4 mit Material, Rechengeschichte, 10 Zeichnung darstellen. Überschlagen, Je eine (halb)schriftliche Additions- und Subtraktions- 8 (Halb)Schriftliches Rechnen aufgabe (z. B. 199 + 198), je eine schriftliche Subtraktions- und Multiplikationsaufgabe (z. B. 23 · 205) zum Überschlagen und Ausrechnen 12 . ∑ 108 schen Untersuchungsgruppen RS (rechenschwach) und Kontrollgruppe, ein Gruppenvergleich zum Thema Strategieverwendung sowie beispielhaft je eine qualitative Analyse zu den Themenbereichen Zählen, Dezimalsystem und Operationsverständnis dargestellt 11 . 4 Einige Ergebnisse 4.1 Hypothesenprüfung „Verständnis Basisstoff“ In einem ersten Schritt interessiert, ob zwischen den Untersuchungs- und Kontrollgruppen tatsächlich ein signifikanter Leistungsunterschied bezüglich der Erarbeitung des Basisstoffes besteht. Es wurden die folgenden Hypothesen aufgestellt: H 1: Schülerinnen und Schüler im 5. und 8. Schuljahr, welche bezüglich des aktuellen Lernstoffes unterdurchschnittliche Mathematikleistungen aufweisen, weisen auch bezüglich des mathematischen Basisstoffes (zentraler Lernstoff der ersten vier Schuljahre) schlechtere Mathematikleistungen auf als gleichaltrige Schülerinnen und Schüler mit aktuell durchschnittlichen Mathematikleistungen. In der Zuweisungspraxis zu Fördermaßnahmen wird häufig gemäß der WHO-Definition unterschieden zwischen Schülerinnen und Schülern mit durchschnittlichem bzw. unterdurchschnittlichem IQ. In der Regel werden für die beiden Gruppen auch unterschiedliche Fördermaßnahmen vorgeschlagen: reduzierter Lernstoff und (oft kleinschrittiges und) langsames Erarbeiten (des mathematischen Lernstoffes) für die sogenannt lernbehinderten Kinder sowie Dyskalkulietherapie (häufig bestimmt durch nochmaliges Erarbeiten von aktuellem Schulstoff) für die Kinder mit durchschnittlichem IQ. Da das IQ-Kriterium immer häufiger in Frage gestellt wird (Jiménez Gonzáles/ García Espinel 1999 und 2002) und auch die praktizierten unterschiedlichen Fördermaßnahmen hinterfragt werden müssen, wird folgende Hypothese formuliert: H 2: Zwischen Schülerinnen und Schülern mit „unterdurchschnittlicher Mathematikleistung/ unterdurchschnittlichem IQ“ und solchen mit „unterdurchschnittlicher Mathematikleistung/ durchschnittlichem IQ“ lässt sich bezüglich der Leistung im Mathematiktest zum Schulstoff der ersten vier Schuljahre kein Leistungsunterschied feststellen. Fünftes Schuljahr: Die Berechnungen (einfache Varianzanalyse ANOVA mit Scheffé-Test13) ergeben einen signifikanten Leistungsunterschied zwischen der Kontrollgruppe 3 und den beiden Untersuchungsgruppen RS 1 und RS 2 (vgl. Ergebnis Scheffé-Test in Tab. 2). Die Hypothese, dass rechenschwachen Schülerinnen und Schülern im 5. Schuljahr die Grundlagen des Basisstoffes der ersten vier Schuljahre fehlen, kann somit nicht wider- Lernschwierigkeiten Mathematik 117 VHN 2/ 2005 Abhängige Variable: Mathematikleistung beim zweiten Messzeitpunkt M St.abw. Min Max Anzahl Scheffé-Test Gruppe RS 1 66.93 12.38 39 94 41 Gruppe 1/ Gruppe 2 p = 0.211 Gruppe RS 2 71.15 13.33 39 95 48 Gruppe 1/ Gruppe 3 p < 0.001 Kontrollgruppe 3 92.53 6.6 76 103 45 Gruppe 2/ Gruppe 3 p < 0.001 SAQ df MQA F p-Wert Zwischen d. Gruppen 16631.876 2 8315.94 66.434 0.000 Innerhalb der Gruppe 16398.004 131 125.176 Total 33029.881 133 Tab. 2: Varianzanalytische Überprüfung der Mathematikleistung im 5. Schuljahr legt werden. Dieses Ergebnis wird auch auf der Ebene der einzelnen mathematischen Kompetenzbereiche bestätigt. Zwischen den Untersuchungs- und der Kontrollgruppe ergab sich überall ein signifikanter Leistungsunterschied (t-Test für unabhängige Stichproben, vgl. Tab. 3). Die Hypothese H 2 (kein Unterschied zwischen den beiden Untersuchungsgruppen) kann ebenfalls nicht widerlegt werden. Die Leistungen der Gruppe RS 1 (unterdurchschnittliche Mathematikleistung, unterdurchschnittlicher IQ) sind generell etwas schlechter als diejenigen der Gruppe RS 2 (unterdurchschnittliche Mathematikleistung, durchschnittlicher IQ); das Resultat wird jedoch nicht signifikant (p = 0.211, vgl. Tab. 2). Werden die Mathematikleistungen dieser Gruppen bezüglich der einzelnen mathematischen Kompetenzbereiche analysiert, ist nur im Bereich (halb)schriftliches Rechnen ein sehr geringer Leistungsunterschied zugunsten der Gruppe mit durchschnittlichem IQ festzustellen (Z = -2.024; p = 0.043). Achtes Schuljahr: Im 8. Schuljahr kann die Hypothese des nicht bewältigten Basisstoffes ebenfalls nicht widerlegt werden (vgl. Ergebnis Scheffé-Test in Tab. 4). Gruppe RS 1 und RS 2 zeigen signifikant niedrigere Leistungen als die Kontrollgruppe. Zwischen den Untersuchungsgruppen und der Kontrollgruppe ergab sich auch auf der Ebene der einzelnen mathematischen Kompetenzbereiche außer bei der Addition (p = 0.05) überall ein signifikanter Leistungsunterschied (vgl. Tab. 3). Die Leistungen der Gruppe RS 1 (unterdurchschnittliche Mathematikleistungen, unterdurchschnittlicher IQ) sind etwas schlechter als diejenigen von Gruppe RS 2 (unterdurchschnittliche Mathematikleistungen, durchschnittlicher IQ), der Unterschied ist jedoch nicht signifikant (p = 0.612, vgl. Tab. 4). Werden die einzelnen mathematischen Kompetenzbereiche verglichen, ergibt sich nur für den Bereich „Dezimalsystem“ eine geringe Überlegenheit der Gruppe 2 (Z = -2.025; p = 0.043). H 2 kann somit auch hier nicht widerlegt werden. Elisabeth Moser Opitz 118 VHN 2/ 2005 Mathematische Leistungen 5. und 8. Schuljahr 5. Schuljahr 8. Schuljahr Gruppen RS Kontrollgruppe Gruppen RS Kontrollgruppe (N = 89) (N = 45) (N = 85) (N = 47) Bereich Mittel- Std. Mittel- Std. Mittel- Std. Mittel- Std. wert abw. wert abw. wert abw wert abw. Zählen 5.51*** 2.72 7.36*** 2.02 5.64*** 2.34 8.09*** 1.78 Addition 8.88* 1.44 9.51* 0.94 8.87 # 1.41 9.34 # 1.19 Subtraktion 7.98*** 1.86 9.49*** 0.97 8.61* 1.57 9.23* 1.24 Ergänzen 6.63*** 2.8 9.18*** 1.32 7.28*** 2.42 9.06*** 1.47 Verdoppeln, Halbieren 6.89*** 2.76 9.33*** 1.38 7.44*** 2.5 9.45*** 1.18 Multiplikation 7.75*** 1.73 9.51*** 0.84 7.85** 1.89 8.77** 1.18 Division 6.49*** 2.48 8.96*** 1.17 7.21*** 2.16 8.77*** 1.45 Dezimalsystem 5.74*** 1.87 8.16*** 1.43 6.15*** 2.03 8.19*** 1.39 Textaufgaben 5.85*** 1.92 8.47*** 1.53 6.35*** 2.12 7.87*** 1.70 Operationsverständnis 5.11*** 2.46 7.69*** 1.56 6.51** 2.36 7.94** 1.96 (Halb)Schriftl. Rechnen 2.38*** 1.34 4.87*** 1.27 3.11*** 1.43 4.87*** 1.62 Tab. 3: Übersicht Leistungen 5. und 8. Schuljahr in den einzelnen Bereichen * Leistungsunterschiede zwischen Untersuchungs- und Kontrollgruppe; t-Test für unabhängige Stichproben *** p < 0.001; ** p < 0.01; * p < 0.05, # = 0.05 Die Leistungen der beiden Gruppen mit rechenschwachen Schülerinnen und Schülern werden deshalb im Folgenden für beide Schuljahre jeweils gemeinsam dargestellt und als „Untersuchungsgruppen“ (der rechenschwachen Schülerinnen) „RS“ bezeichnet. 4.2 Strategieverwendung Verschiedene Studien (vgl. Kapitel 2) weisen darauf hin, dass Schülerinnen und Schüler mit mathematischen Lernschwächen häufig zählend rechnen und Schwierigkeiten beim Automatisieren haben. Es wurde deshalb untersucht, welche Strategien in den verschiedenen Untersuchungsgruppen zum Lösen der Aufgaben zu den Grundoperationen (inkl. Verdoppeln, Halbieren und Ergänzen) zur Anwendung kamen. Im Einzelinterview wurde beobachtet, ob die Schülerinnen und Schüler diese Aufgaben durch Abrufen (Antwort innerhalb von 4 sec), Ableiten oder Zerlegen (3 + 5 = 8 → 73 + 5 = 78), Abzählen, schriftlich oder mit Material lösten. Grundsätzlich zeigt sich dasselbe Bild wie in anderen Studien (z. B. Jordan/ Oettinger Montani 1997; Ostad 1997): Obwohl in allen Gruppen eine große Anzahl von Aufgaben durch Ableiten oder Abrufen gelöst wurde 14 , verwenden die Schülerinnen und Schüler der Gruppen RS häufiger Abzählstrategien als die Probandinnen und Probanden in den Kontrollgruppen (vgl. Tab. 5). Erstaunlicherweise wird in beiden Schuljahren in Gruppe RS 2 bei (fast) doppelt so vielen Aufgaben abgezählt wie in Gruppe RS 1. Im 5. Schuljahr kommt dieses Resultat allerdings durch 15 Kinder zustande, die fast bei allen Aufgaben abzählten. Zählendes Rechnen scheint somit nicht eine generelle Lernschwierigkeiten Mathematik 119 VHN 2/ 2005 Abhängige Variable: Mathematikleistung beim zweiten Messzeitpunkt M St.abw. Min Max Anzahl Scheffé-Test Gruppe RS 1 73.94 12.19 45 93 46 Gruppe 1/ Gruppe 2 p = 0.612 Gruppe RS 2 76.23 11.58 50 99 39 Gruppe 1/ Gruppe 3 p < 0.001 Kontrollgruppe 3 91.58 7.75 74 103 47 Gruppe 2/ Gruppe 3 p < 0.001 SAQ df MQA F p-Wert Zwischen d. Gruppen 8394.631 2 4197.32 37.225 0.000 Innerhalb der Gruppe 14545.43 129 112.755 Total 22940.061 131 Tab. 4: Varianzanalytische Überprüfung der Mathematikleistung im 8. Schuljahr Anzahl Kopfrechenaufgaben zählend oder schriftlich gelöst 5. Schuljahr 8. Schuljahr zählend schriftlich richtig zählend schriftlich richtig Gr. RS 1 81 54 97 47 82 93 Gr. RS 2 167 56 152 81 54 101 Kontroll 28 28 46 10 22 29 Tab. 5: Verwendete Strategien bei den Grundoperationen Schwierigkeit, sondern das Problem einer Gruppe der rechenschwachen Schülerinnen und Schüler zu sein. Interessant ist, dass im 8. Schuljahr grundsätzlich weniger zählende Rechenstrategien festzustellen sind als im 5. Schuljahr. Vor allem bei der Addition und der Subtraktion zählen die 8.-Klässler weniger ab und machen auch weniger Abzählfehler. Der Prozess des Automatisierens von „Basisaufgaben“ zu den Strichoperationen scheint im 8. Schuljahr weiter fortgeschritten zu sein als im 5. Schuljahr. Das generell gute Ergebnis der Gruppen RS im 8. Schuljahr im Bereich Addition (vgl. Tab. 3) weist ebenfalls in diese Richtung (vgl. Geary u. a. 2004). Gültige Aussagen über eine allfällige Entwicklung der Strategien hin zu weniger Abzählen mit zunehmendem Alter (bzw. in höheren Schuljahren) könnten jedoch nur mit Daten einer Längsschnittuntersuchung gemacht werden. Zur Verwendung der schriftlichen Verfahren: In den Untersuchungsgruppen wird das schriftliche Normalverfahren viel häufiger angewendet als in der Kontrollgruppe, oft bei einfachen Aufgaben wie 73 + _ = 100. Eine Fehleranalyse zeigt jedoch, dass dies oft fehlerhaft geschieht. Eine große Anzahl von Fehlern war bei den schriftlichen Verfahren generell und besonders beim Übertrag zu finden 15 . Auffallend ist auch, dass Gruppe 1 im 8. Schuljahr weitaus häufiger schriftlich gerechnet hat als die anderen RS-Gruppen. Dies kann damit zusammenhängen, dass schriftliche Verfahren an der Oberstufe mit rechenschwachen Schülerinnen und Schülern im Hinblick auf Anforderungen in den Berufslehren häufig intensiv bearbeitet und trainiert werden. Es stellt sich die Frage, ob dieses Vorgehen den gewünschten Erfolg bringt. Die hohe Fehlerquote zeigt, dass die Schülerinnen und Schüler den Algorithmus oft nicht verstanden haben bzw. nicht richtig anwenden können. Im Folgenden werden exemplarisch drei Bereiche des „nicht verstandenen Basisstoffes“ näher betrachtet. 4.3 Beschreibung und Interpretation ausgewählter mathematischer Bereiche 4.3.1 Zählen Rechenschwierigkeiten werden in der Regel kaum mit Zählkompetenzen in Verbindung gebracht. Zählen wird oft - etwa im Anschluss an Piaget (Piaget/ Inhelder 1972, 47) - als Aufsagen eines Verses interpretiert, welches nichts mit arithmetischem Verständnis zu tun hat. In der Folge wird Zählen auch in Schulbüchern und Unterrichtsentwürfen oft wenig berücksichtigt. Eine ganze Reihe von Studien zeigen jedoch ein anderes Bild: Zählen ist eine für den arithmetischen Lernprozess zentrale Kompetenz. Erst durch den korrekt ausgeführten Zählakt (Kenntnis der Zahlwortreihe, korrektes Zählen von Objekten, kardinales Verständnis; vgl. Moser Opitz 2002, 86) wird es möglich, eine Anzahl zu bestimmen und überhaupt zu einem Anzahlbegriff zu kommen (vgl. Janssen u. a. 1999, 279; Fuson 1988; Freudenthal 1977, 169ff). In verschiedenen Studien wird auf einen Zusammenhang zwischen fehlenden bzw. eingeschränkten Zählkompetenzen und mathematischen Lernschwierigkeiten hingewiesen. Geary u. a. (1992; vgl. auch Geary 1993, 350; 2004, 6) haben in einer Untersuchung festgestellt, dass Kinder mit mathematischen Lernschwierigkeiten über geringere Zählkompetenzen verfügen als gleichaltrige Kinder ohne solche Probleme. Insbesondere war die Zählkompetenz der Experimentalgruppe weniger weit entwickelt, und die Kinder hatten Schwierigkeiten, Zählfehler zu erkennen (ebd., 383). Im Weiteren wurde ein Zusammenhang zwischen den wenig entwickelten Zählstrategien und einer gehäuften Anzahl von Rechenfehlern bei der Addition festgestellt. Die Autoren weisen deshalb der Zählkompetenz eine wesentliche Bedeutung im Hinblick auf den Erwerb weiterer arithmetischer Kompetenzen zu. Die vorliegenden Untersuchungsergebnisse bestätigen diese Befunde. Die rechenschwachen Elisabeth Moser Opitz 120 VHN 2/ 2005 Schülerinnen und Schüler schneiden bei den Zählaufgaben signifikant schlechter ab als die Kontrollgruppe. Eine detaillierte Aufgabenanalyse gibt interessante Hinweise. Zählen vorwärts und rückwärts in Einerschritten gelingt im 5. Schuljahr 64 - 70 % der Schülerinnen und Schüler der Gruppe RS. Zählen in größeren Schritten ist deutlich schwieriger, insbesondere das Zählen in Zweierschritten (Lösungshäufigkeit 41.6 %) sowie in Zehner- und Hunderterschritten (Lösungshäufigkeit jeweils 48.3 %). Bei der Aufgabe „Zähle von 185 an in Zweierschritten vorwärts“ wurden besonders viele Fehler beim Übergang über den Zehner (z.B. 187, 189, 102, 104 …) oder den Hunderter (… 197, 199, 2001, 2003, 2005) gemacht. Häufig fanden auch Wechsel der Schrittgröße statt. Bei der Aufgabe „Zähle von 862 an in Hunderterschritten vorwärts“ wurde zum Beispiel so gezählt: 862, 962, 1062, 2062, 3062 …). Im 8. Schuljahr zeigten sich ähnliche Lösungshäufigkeiten und Fehlermuster wie im 5. Schuljahr. Die Schülerinnen und Schüler mit Lernschwächen im 5. und 8. Schuljahr verfügen somit über signifikant schlechtere Zählkompetenzen als die Kontrollgruppe und zeigen vor allem Schwierigkeiten beim Zählen in Schritten größer als eins. Sie scheinen nicht über das Zählen in Einerschritten hinauszukommen, sondern im Prozess der Zählentwicklung stehen zu bleiben. Die Stufe des flexiblen Zählens in Schritten, wie sie von Fuson (1988, 33; deutsch z. B. bei Moser Opitz 2002, 87) als zweitletzte Phase innerhalb der Zählentwicklung genannt wird, ist nicht erreicht. Dies wirkt sich auch auf das Bewältigen von Rechenoperationen aus: Da flexibles Zählen in Schritten nicht oder nur fehlerhaft möglich ist, wird auch beim Lösen von Rechenoperationen oft fehlerhaft in Einerschritten gezählt 16 ; dies erklärt auch die häufige Verwendung von Zählstrategien (vgl. 4.2). Die häufigen Fehler bei den Übergängen über Zehner und Hunderter weisen auf Schwierigkeiten beim Verständnis des Dezimalsystems hin. 4.3.2 Dezimalsystem Das Verständnis des dekadischen Stellenwertbzw. des Dezimalsystems 17 gilt als wichtiger Bestandteil des arithmetischen Lernprozesses (Einsicht Zahlaufbau, Umgang mit Geld und Größen usw.). Erster Schritt zur Einsicht ins dekadische System ist das Bündeln. Müller/ Wittmann (1984, 192) betonen, dass „… das Bündeln als grundlegendes und durchgängiges Prinzip deutlich herausgestellt werden muss“. Das Bündelungsprinzip fasst zehn Einheiten (Einer) zu einer neuen Einheit (Zehner) zusammen, zehn Zehner werden zur Einheit eines Hunderters zusammengefasst usw. Die Anzahl der einzelnen Einheiten wird anschließend mit Ziffern dargestellt; daraus kann das Verständnis für die Stellenwerte abgeleitet werden. „Bei der Notation der Bündelungsergebnisse erhält man eine bestimmte Ziffernfolge. Dabei hat jede Ziffer neben ihrem Anzahlaspekt (»wie viele dieser Bündel sind es«? ) auch noch einen Stellenwert: Die Position oder die Stelle … einer Ziffer innerhalb einer Zahl gibt Aufschluss über den Wert dieser Ziffer“ (Krauthausen/ Scherer 2003, 16, Kursivschrift und Zeichensetzung im Original). Diese Einsicht ist fundamental für den arithmetischen Lernprozess und enthält verschiedene „Stolpersteine“. Neben Bündelungsprinzip und Stellenwerten muss z.B. deren Versprachlichung bewältigt werden. Es gibt verschiedene Ausdrucksmöglichkeiten für eine (An-)Zahl, welche alle dasselbe meinen: 245 kann z. B. als zwei Hunderter, vier Zehner und fünf Einer, 245 Einer oder 24 Zehner und fünf Einer usw. beschrieben werden. Eine weitere Schwierigkeit stellt die Übertragung der Ergebnisse des Bündelns in das arabische Zeichensystem dar (Noël/ Turconi 1999, 298). Hier entstehen häufig Fehler: Die Kinder übergeneralisieren z. B. bekannte Regeln oder wenden sie falsch an. 106 („hundertsechs“ oder „hundert und sechs“) wird dann - logischerweise - als 1006 geschrieben, d. h. die Zahlwörter werden gemäß ihrer Sprechweise und nicht gemäß ihrem Stellenwert notiert. Lernschwierigkeiten Mathematik 121 VHN 2/ 2005 Schwierigkeiten beim Verständnis des Dezimalsystems können auch unterrichtsbedingt sein. So ist die Bedeutung der verschiedenen Zahlaspekte, Veranschaulichungen und Arbeitsmittel (vgl. Moser Opitz/ Schmassmann 2003, 39f), welche für das Verständnis des Zahlenraums wichtig sind, vielen Lehrpersonen nicht bewusst. Diese wichtigen Grundpfeiler des Mathematikunterrichts werden in der Folge nicht oder falsch erarbeitet, wie folgendes Beispiel aufzeigt: Die Hundertertafel 18 betont die Position der Zahl unter Hervorhebung der dezimalen Schreibweise (gleiche Einheiten untereinander) und ist geeignet, um Gesetzmäßigkeiten des Zahlaufbaus und der Zahlenschreibweise zu erarbeiten. Die Tafel wird in der Praxis allerdings oft als Veranschaulichung für die Anzahl „Hundert“ (kardinaler Aspekt) verwendet, was jedoch nicht im Vordergrund steht. Dies kann dazu führen, dass Schülerinnen und Schüler sich nur an der äußeren Gestalt der Tafel orientieren und zur Darstellung von Hundert ein Rechteck (oder Quadrat) mit einer willkürlichen Anzahl von Feldern zeichnen. Obwohl das Dezimalsystem immer wieder als zentraler Aspekt mathematischen Lernens bezeichnet wird, gibt es nur wenige Studien dazu. Carpenter u. a. (1997) stellten fest, dass ein Zusammenhang besteht zwischen der Kenntnis des dekadischen Systems und dem Ausführen von Additions- und Subtraktionsaufgaben. Schülerinnen und Schüler mit guten Kenntnissen des Dezimalsystems machten a) weniger Fehler und verwendeten b) vielfältigere (halbschriftliche) Strategien als Schülerinnen und Schüler mit schlechteren Kenntnissen des Dezimalsystems. Letztere verwendeten in erster Linie das schriftliche Normalverfahren. Welche Erkenntnisse bezüglich des Verständnisses des Dezimalsystems lassen sich aus der vorliegenden Studie gewinnen? Die Aufgabe zum Bündelungsprinzip, das dem Dezimalsystem zugrunde liegt, wurde von 30 % der Schülerinnen und Schüler der Untersuchungsgruppen des 5. Schuljahres und 25 % des 8. Schuljahres falsch gelöst (vgl. Tab. 6). Auf dem Hintergrund dieses Resultates erstaunt es nicht, dass die Aufgaben zum Entbündeln und zu den Stellenwerten noch schlechter gelöst wurden. Häufige Fehler beim Einordnen von Zahlen am Zahlenstrahl weisen auf Schwierigkeiten beim Erkennen der Größenbeziehungen von Zahlen hin. Elisabeth Moser Opitz 122 VHN 2/ 2005 Richtig gelöste Aufgaben in % 5. Schuljahr 8. Schuljahr Gruppen RS Kontrollgruppe Gruppen RS Kontrollgruppe Wie viele Zehnerbündel können mit 56 Plättchen gemacht werden? 70.8 97.8 75.3 97.9 Was bedeutet die 2/ die 3 in der Zahl 1234? 79.8 93.3 81.2 89.4 100 000 - 10 = 10 000 - 100 = 24.7 60 17.7 53.2 Schreibe in die Stellentafel: 3 T, 42 Z, 7 E 2 T, 1 H, 35 Z, 4 E 19.1 51 20.0 53.2 Zahlen (86, 473) an einem Zahlenstrahl mit einigen Bezugsmarkierungen einordnen. 31.1 66.7 40.0 70.2 Tab. 6: Ergebnisse Dezimalsystem Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die rechenschwachen Schülerinnen und Schüler beim Verständnis des Dezimalsystems große Lücken haben. Bündeln, Entbündeln, Zahlaufbau, Größenbeziehungen und in der Folge das Verständnis der Stellenwerte sind nicht verstanden. Dies wirkt sich auf das Lösen von Rechenoperationen aus. Stellenwertfehler (z. B. ein Zehner, Hunderter zu viel oder zu wenig) machen insgesamt die größte Fehlerkategorie aus. Den dargestellten Ergebnissen von Carpenter u. a. (1997) folgend, kann die häufige Verwendung von schriftlichen Verfahren der Gruppe RS 1 im 8. Schuljahr mit den schlechten Leistungen dieser Schülerinnen und Schüler bei den Aufgaben zum Dezimalsystem (siehe 4.1, Abschnitt 8. Schuljahr) in Verbindung gebracht werden. Weiter kann angenommen werden, dass die beschriebenen häufigen Zählfehler bei den Übergängen über den Zehner bzw. Hunderter auch mit fehlenden Kenntnissen des Dezimalsystems in Zusammenhang stehen. Dem Dezimalsystem kommt somit innerhalb des mathematischen Lernprozesses eine sehr hohe Bedeutung zu. 4.3.3 Operationsverständnis (Mathematisieren) Die Mathematisierungsfähigkeit (aus realen Gegebenheiten den mathematischen Gehalt herausschälen und mit mathematischen Methoden bearbeiten und umgekehrt) stellt einen zentralen Aspekt des Operationsverständnisses dar. Dieses wurde durch das Veranschaulichen von einfachen Rechenaufgaben überprüft (vgl. Tab. 7). Nach dem Lösen der Rechnung wurde folgende Aufgabe gestellt: Stell dir vor, ein Kind (in der ersten Klasse) kann diese Aufgabe nicht lösen, versteht sie nicht. Versuche, die Aufgabe für ein solches Kind zu erklären. Du kannst eine Geschichte oder eine Zeichnung dazu machen oder die Aufgabe mit den Materialien zeigen. Auch bezüglich des Operationsverständnisses unterschieden sich die Untersuchungsgruppen im 5. und 8. Schuljahr signifikant von den Kontrollgruppen (vgl. Tab. 3). Bei der Addition und Subtraktion gelang die Veranschaulichung auch in der Gruppe RS gut, aber dennoch bedeutend schlechter als in den Kontrollgruppen. Bei den anderen Operationen tauchten große Schwierigkeiten auf. Einige Beispiele sollen die Schwierigkeiten exemplarisch veranschaulichen. Beim Ergänzen (73 + _ = 100) fiel es den Schülerinnen und Schülern der Gruppen RS äußerst schwer, eine passende Veranschaulichung zu finden. Oft wurde (vergeblich) versucht, auf formaler Ebene den Rechenweg zu beschreiben. „Es ist schwierig zu erklären. Es bleiben sieben übrig, dann habe ich noch die vordere Zahl vorgestellt“ (8. Schuljahr, Schülercode 14909). Lernschwierigkeiten Mathematik 123 VHN 2/ 2005 Anzahl richtige Lösungen in % 5. Schuljahr 8. Schuljahr Aufgabe Gruppe RS Kontrollgruppe Gruppe RS Kontrollgruppe 3 + 5 = 8 71.9 93.3 90.6 93.6 9 - 5 = 4 68.5 97.8 81.2 89.4 73 + _ = 100 25.8 44.4 34.1 46.8 3 · 7 = 21 29.2 57.8 48.2 55.3 12 : 4 = 3 19.1 51.1 31.8 63.8 Tab. 7: Lösungen Operationsverständnis Bei der Multiplikation (3 · 7 = 21) wurden oft falsche additive Darstellungen gewählt bzw. die Gleichung wurde eins zu eins mit Material oder einer Zeichnung dargestellt. Multiplikator und Multiplikand wurden dabei als Menge dargestellt, dazwischen wurden die Operationszeichen gesetzt. „Der Lehrer stellt drei Leute auf. Er nimmt noch sieben dazu. Dazwischen stellt er einen Punkt. Die anderen müssen herausfinden, was das für eine Malrechnung ist“ (5. Schuljahr, 20107). Häufig wurden formale Erklärungen gegeben: „Wenn das Kind bis 1000 gelernt hat zu zählen, schreibe ich ihm ein Blatt mit allen Einmaleinsaufgaben auf und es muss sie auswendig lernen. Wenn es sie kann, schreibe ich eine Aufgabe auf und es kann sie“ (5. Schuljahr, 16604). Beim Dividieren (12 : 4 = 3) äußerten die Schülerinnen und Schüler oft, dass sie keine Ahnung hätten, wie man die Aufgabe veranschaulichen könnte. Wenn Erklärungen erfolgten, waren diese häufig formal oder verwiesen auf die Multiplikation. „Ein Lehrer stellt eine Rechenaufgabe an der Tafel. Die Kinder sollen das ausrechnen. Ein Kind sagt 3. Der Lehrer fragt: Stimmt das? Alle sagen ja“ (5. Schuljahr, 20107). Die Schülerinnen und Schüler der Untersuchungsgruppen haben nicht - wie oft erwähnt - Schwierigkeiten beim Mathematisieren generell. Beim Addieren und Subtrahieren können zu den Gleichungen passende Geschichten, Handlungen oder Zeichnungen erarbeitet werden. Schwierigkeiten ergeben sich beim Ergänzen, bei der Multiplikation und bei der Division. Dies lässt sich unterschiedlich erklären. Es kann argumentiert werden, dass die rechenschwachen Schülerinnen und Schüler diese Operationen nicht verstanden haben und deshalb Schwierigkeiten beim Mathematisieren haben. Es könnte aber auch sein, dass die Operationen im Unterricht in erster Linie formal behandelt und das Mathematisieren nicht gepflegt wurde, oder dass die Schülerinnen und Schüler dies nicht lernten und deshalb kein Operationsverständnis aufbauen konnten. 5 Konklusion Die dargelegten Forschungsresultate zeigen: Schülerinnen und Schüler mit unterdurchschnittlichen Mathematikleistungen haben den Basisstoff der ersten vier Schuljahre nicht oder nur teilweise erworben, und zwar trifft dies auf Schülerinnen und Schüler mit durchschnittlichem und unterdurchschnittlichem IQ in gleicher Weise zu. Das IQ-Kriterium (und die damit verbundenen unterschiedlichen Fördermaßnahmen) ist somit einmal mehr in Frage zu stellen. Die Lücken zeigen sich nicht in allen Bereichen gleich deutlich. Anhand von Beispielen aus den Themenbereichen Zählen, Dezimalsystem und Operationsverständnis (Mathematisieren) wurde dargelegt, dass die von Rechenschwäche betroffenen Schülerinnen und Schüler sehr spezifische Fähigkeiten nicht erworben haben. Bei den hier beschriebenen Bereichen sind dies a) das Zählen in Schritten größer als eins, b) das Bündeln, Entbündeln und Verständnis der Stellenwerte und c) das Operationsverständnis beim Ergänzen, der Multiplikation und der Division. Die Schülerinnen und Schüler der Kontrollgruppe verfügen mehrheitlich über diese Kenntnisse und zeigen mathematische Leistungen, welche den Erwartungen entsprechen. Was bedeutet dies für Unterricht, Förderung und Diagnostik? 5.1 Unterricht: Zentrale Inhalte gewichten anstatt abarbeiten von Schulbüchern Sowohl im Regelunterricht als auch im sonderpädagogischen Unterricht muss in der Grundschule vermehrt darauf Gewicht gelegt werden, die für den mathematischen Lernprozess zentralen Inhalte besonders zu gewichten und sich immer wieder zu versichern, dass die Schülerinnen und Schüler diese auch verstanden ha- Elisabeth Moser Opitz 124 VHN 2/ 2005 ben. Da viele Lehrpersonen gewohnt sind, ein Schulbuch durch- oder abzuarbeiten, kann es sehr leicht geschehen, dass der Fokus zu wenig auf das Verstehen der wesentlichen Lerninhalte gelegt wird. Dies geschieht manchmal auch aus Angst, mit dem Lernstoff nicht durchzukommen und die Schülerinnen und Schüler nicht ans gewünschte Ziel zu bringen. Viel wichtiger als das Durcharbeiten eines Schulbuches ist jedoch die Erarbeitung der hier genannten Elemente des mathematischen Basisstoffes. Dazu muss den (sonderpädagogischen) Lehrpersonen allerdings das notwendige Wissen zur Verfügung gestellt werden. 5.2 Diagnostik und Förderung: Orientierung am Basisstoff In Praxis und Literatur wird zu Recht oft ein Mangel an geeigneten Diagnoseinstrumenten zur Erfassung von mathematischen Lernschwierigkeiten beklagt. Hier ist zweifelsohne noch Entwicklungsarbeit zu leisten. Es gibt einige (neuere) qualitative Lernstandserfassungen, welche sich auf mathematischer und mathematikdidaktischer Grundlage am Basisstoff orientieren und Hilfestellungen zur Erfassung solcher Kenntnisse bieten (z. B. Scherer 2003 und 2000; Moser Opitz/ Schmassmann 2002, 2003 a und 2003 b, 2004, 2005). Bezüglich Förderung besteht (gerade auch im sonderpädagogischen Mathematikunterricht) immer wieder die Gefahr, dass diese zum Nachhilfeunterricht verkommt, indem versucht wird, den Schülerinnen und Schülern den gerade aktuellen Schulstoff nochmals zu erklären und dazu viele (gleiche) Übungsaufgaben zu stellen. Aufgrund des fehlenden Verständnisses des Basisstoffes ist diesem Vorgehen oft wenig Erfolg beschieden. Auch das Vermitteln und Auswendiglernen von „Rezepten“ (z. B. bezüglich der schriftlichen Verfahren), wie es oft für Schulabgängerinnen und -abgänger gefordert wird, ist aufgrund der vorliegenden Ergebnisse in Frage zu stellen. Wenn schriftliche Verfahren erarbeitet werden, dann muss dies auf der Grundlage von Einsicht und Verständnis geschehen (vgl. Schipper 2003). Es ist deshalb unabdingbar, dass auch mit älteren Schülerinnen und Schülern die fehlenden zentralen mathematischen Elemente des Basisstoffes erarbeitet werden. Basisstoff erarbeiten bedeutet nicht zwingend, dass - wie häufig automatisch praktiziert und gerade für ältere Schülerinnen und Schüler manchmal frustrierend - wieder wie in der Grundschule im Zahlenraum bis 100 gearbeitet werden muss. Zählen, Bündeln, Entbündeln und Verständnis der Stellenwerte sowie Mathematisieren können als mathematische Prinzipien ohne weiteres auch in hohen Zahlenräumen er- und bearbeitet werden, und ausgehend davon lassen sich anschließend Beziehungen zum Hunderterraum herstellen. Dass sich auch Schülerinnen und Schüler das Verstehen von Mathematik wünschen, wird zum Schluss beispielhaft durch einen Interviewausschnitt illustriert. Die Schülerin (5. Schuljahr) erzählt, dass sie in der ersten und zweiten Klasse das Fach Mathematik gehasst habe: Sch: „Also dort habe/ habe ich immer eine Lehrerin gehabt, die mir, die mir geholfen hat. Und das/ also ich habe das schon gewollt. Aber das ist nicht gut und dann bin ich immer schlechter geworden.“ I: „Was meinst du mit ‚es ist nicht gut‘? Also sie hat dir geholfen. Was war da für dich nicht gut? “ Sch: „Dass sie mir die Resultate gesagt hat.“ I: „Hat sie dir nicht viel erklärt? “ Sch: „Nein“ I: „Du hattest zwar das Resultat, aber du wusstest gar nicht warum. Wann hat sich das denn geändert? “ Sch: „Als ich von der (…)klasse weggekommen bin. Da hatte ich jemanden, der sehr gut geholfen hat und nicht nur die Werte gesagt hat“ (Interview 20304). Anmerkungen 1 Ich bedanke mich bei den anonymen Gutachtern für die differenzierten und konstruktiven Hinweise. Lernschwierigkeiten Mathematik 125 VHN 2/ 2005 2 Je nach verwendeter Definition wird davon ausgegangen, dass etwas 4 - 7 % der Kinder eines Jahrgangs schwerwiegende Probleme beim Mathematiklernen haben (Geary u. a. 1999, 214; Geary 1994; Jacobs/ Petermann 2003, 197). 3 Die Begriffe Rechenschwäche, Lernstörungen Mathematik, Lernschwierigkeiten Mathematik werden hier (vereinfachend) synonym verwendet. 4 Unterstützt vom Schweizerischen Nationalfonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung, Nr. 1114-064885.01/ 1. 5 Theoretische bzw. empirische Grundlagen zur Thematik des Basisstoffes werden in Verbindung mit Untersuchungsergebnissen in Kapitel 4.3 dargestellt. Ein Überblick findet sich z. B. in van de Walle 1994. 6 Die Primarschule entspricht der Grundschule in Deutschland, sie dauert in der Schweiz fünf bis sechs Jahre. Realklassen entsprechen der Hauptschule im 7. - 9. Schuljahr. 7 Die Stichprobe im 5. Schuljahr setzt sich aus Kindern aus 85 verschiedenen Klassen zusammen, diejenige im 8. Schuljahr aus Jugendlichen aus 69 Klassen. Zusätzlich zu den Variablen Geschlecht und Alter (vgl. Abb. 2) wurden die Deutschkenntnisse (nach Einschätzung der Lehrperson mäßige bis gute Deutschkenntnisse) sowie die Anzahl besuchter Schuljahre berücksichtigt. 8 Da der CFT 20 als eher zu gut messender Test gilt, wurden für die vorliegende Untersuchung folgende Werte festgelegt: Unterdurchschnittlicher IQ zwischen 74 und 94, durchschnittlicher IQ zwischen 95 und 115. 9 Unterdurchschnittliche Mathematikleistungen wurden aufgrund der Resultate im Vortest festgelegt. Dieser überprüfte jeweils die Lernziele des vorangegangenen Schuljahres (4. Schuljahr für die 5. Klasse; 7. Schuljahr für die 8. Klasse). Da der Test im unteren Leistungsbereich differenzieren musste, wurden zusätzlich Aufgaben aus dem Lernstoff der 2. - 3. Klasse bzw. der 4. - 6. Klasse aufgenommen. Zur Bildung der Untersuchungsgruppen wurde ein cutoff score festgelegt: Mittelwert im Vortest - 1 Standardabweichung. In die Kontrollgruppen wurden Schülerinnen und Schüler aufgenommen, deren Mathematikleistung beim Mittelwert lag. Da es sich um einen eher leichten Test handelt, umfassen die Kontrollgruppen Schülerinnen und Schüler mit mäßigen bis guten Mathematikleistungen. Der Vortest umfasste auch ein Rating zur Beliebtheit des Faches Mathematik (mit der Möglichkeit einer ausführlichen Begründung) sowie ein Rating zur Einschätzung der persönlichen Mathematikleistung. 10 Der Test wurde ausgehend von mathematischen und mathematik-didaktischen Überlegungen sowie vorliegenden Forschungsergebnissen, wie sie in Kapitel 4.3 dargelegt sind, entwickelt. Er orientiert sich nicht am Lehrplan, sondern enthält diejenigen Elemente der Grundschulmathematik, welche aufgrund von vorliegenden Studien und fachlichen Überlegungen als für das mathematische Lernen zentral betrachtet werden. Die Zahlenbeispiele sind so gewählt, dass viele Aufgaben durch Ableiten bzw. ohne hohe Anforderungen an die Gedächtniskapazität gelöst werden können. Teilweise wurde auf ein Instrument von Jutta Schäfer (2004) zurückgegriffen. Im 5. und 8. Schuljahr wurde der gleiche Test eingesetzt. 11 Detaillierte Informationen zur Einordnung der Untersuchung, zu den Instrumenten, der Bewertung sowie zum methodischen Vorgehen und weitere Analysen können bei der Autorin angefordert werden. Eine umfangreichere Publikation ist in Erarbeitung. 12 Eine Aufgabe zur Bedeutung des Übertrags musste ausgeschlossen werden, da sie nicht in allen Interviews gestellt wurde. 13 Die Mittelwerte setzen sich zusammen aus den (ungewichteten) Mittelwerten der 11 getesteten Bereiche, wie sie in Tabelle 4 aufgelistet sind. 14 Jede Schülerin, jeder Schüler löste 30 Kopfrechenaufgaben. 15 Im 5. Schuljahr gab es in den Gruppen RS 102 Fehler bei den schriftlichen Verfahren bzw. beim Übertrag (Kontrollgruppe 9 solche Fehler). Im 8. Schuljahr waren es 70 solche Fehler in den Untersuchungsgruppen (15 in der Kontrollgruppe). 16 Zählfehler (Resultat um 1 zu groß bzw. zu klein) machen die zweitgrößte Fehlerkategorie insgesamt aus. 17 Im Folgenden werden die Begriffe „Stellenwertsystem“ und „Dezimalsystem“ synonym für „dekadisches Stellenwertsystem“ verwendet. 18 Quadratische Anordnung der Zahlen von 1 - 100 in Lese- und Schreibrichtung von links oben nach rechts unten. Elisabeth Moser Opitz 126 VHN 2/ 2005 Literatur Carpenter, T. P.; Franke, M. L.; Jacobs, V. R.; Fennema, E.; Empson S. B. (1997): A longitudinal study of invention and understanding in children’s multidigit addition und subtraction. In: Journal for Research in Mathematics Education 29, 3 - 20 Cawley, J. F.; Miller, J. H. (1989): Cross-Sectional comparisons of the mathematical performance of children with learning disabilities: Are we on the right track toward comprehensive programming? 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London/ Melbourne/ Auckland/ Toronto: Longman Dr. Elisabeth Moser Opitz Heilpädagogisches Institut der Universität Freiburg Petrus-Kanisius-Gasse 21 CH-1700 Freiburg E-Mail: elisabeth.moser@llb.unibe.ch Elisabeth Moser Opitz 128 VHN 2/ 2005
